Номер 38, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Решите неравенство:

1) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) > 0;$

2) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) \ge 0;$

3) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) < 0;$

4) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) \le 0.$

Для решения всех четырех неравенств сначала преобразуем выражение, разложив на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 3$. Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Теперь исходное выражение в неравенствах имеет вид $(x-2)^2(x-1)(x-3)$.

Будем решать каждое неравенство методом интервалов. Нули функции $f(x) = (x-2)^2(x-1)(x-3)$ находятся в точках $x=1$, $x=2$, $x=3$. Точка $x=2$ является корнем четной кратности (2), поэтому при переходе через нее знак функции не меняется.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) > 0$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$ и положителен при $x \ne 2$.

Чтобы произведение было строго положительным, необходимо, чтобы оба множителя были положительны и не равны нулю. То есть:

$\begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ (x-1)(x-3) > 0 \end{cases}$

Первое неравенство, $(x-2)^2 > 0$, выполняется для всех $x$, кроме $x=2$.

Второе неравенство, $(x-1)(x-3) > 0$, выполняется, когда $x$ находится за пределами корней 1 и 3. То есть, при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Объединяя эти условия, получаем решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам. Заметим, что точка $x=2$ не попадает в интервалы $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$, поэтому дополнительно ее исключать не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях: когда выражение равно нулю и когда оно строго больше нуля.

1. Выражение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x-1=0$, $x-2=0$ или $x-3=0$. То есть, при $x=1$, $x=2$, $x=3$.

2. Выражение строго больше нуля. Из решения пункта 1) мы знаем, что это выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Объединяя оба случая, мы должны к интервалам $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ добавить точки, где выражение равно нулю. Это точки 1, 2 и 3.

Включая точки 1 и 3, получаем замкнутые лучи: $(-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

Также добавляем изолированную точку $x=2$, которая является решением.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [3, \infty)$.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) < 0$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-2)^2$ был строго положителен, а множитель $(x-1)(x-3)$ был строго отрицателен.

$\begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ (x-1)(x-3) < 0 \end{cases}$

Первое неравенство, $(x-2)^2 > 0$, выполняется для всех $x \ne 2$.

Второе неравенство, $(x-1)(x-3) < 0$, выполняется, когда $x$ находится между корнями 1 и 3. То есть, при $x \in (1, 3)$.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (1, 3)$ и $x \ne 2$. Это дает нам два интервала.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) \le 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях: когда выражение равно нулю и когда оно строго меньше нуля.

1. Выражение равно нулю при $x=1$, $x=2$, $x=3$.

2. Выражение строго меньше нуля. Из решения пункта 3) мы знаем, что это выполняется при $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

Объединим множество решений из этих двух пунктов: $\{1, 2, 3\} \cup (1, 2) \cup (2, 3)$.

Это объединение дает замкнутый отрезок от 1 до 3, включающий все точки между ними.

Ответ: $x \in [1, 3]$.