Страница 11 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+8}{x-7} < 0;$

2) $\frac{x-9}{x+11} > 0;$

3) $\frac{x-3,2}{x-4,8} \ge 0;$

4) $\frac{x+6,2}{x-1,6} \le 0;$

5) $\frac{6-x}{x-5} \ge 0;$

6) $\frac{(x+13)(x+2)}{x-13} \ge 0;$

7) $\frac{x-3,5}{(x+6)(x-12)} \le 0;$

8) $\frac{x+7,2}{(10-x)(x-3)} \ge 0.$

1) $\frac{x + 8}{x - 7} < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём нули числителя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.

2. Найдём нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$.

3. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($< 0$), обе точки будут "выколотыми" (не включаются в решение).

---(-8)---(7)---> x

4. Определим знак выражения в каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -8)$, $(-8; 7)$ и $(7; +\infty)$.

• При $x > 7$, например $x = 10$: $\frac{10 + 8}{10 - 7} = \frac{18}{3} > 0$. Знак "+".
• При $-8 < x < 7$, например $x = 0$: $\frac{0 + 8}{0 - 7} = -\frac{8}{7} < 0$. Знак "-".
• При $x < -8$, например $x = -10$: $\frac{-10 + 8}{-10 - 7} = \frac{-2}{-17} > 0$. Знак "+".

5. Нам нужны значения, где выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (-8; 7)$

2) $\frac{x - 9}{x + 11} > 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9$.

2. Нуль знаменателя: $x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11$.

3. Отмечаем точки на числовой прямой. Неравенство строгое, обе точки выколотые.

---(-11)---(9)---> x

4. Знаки на интервалах $(-\infty; -11)$, $(-11; 9)$, $(9; +\infty)$: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (9; +\infty)$

3) $\frac{x - 3,2}{x - 4,8} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x - 3,2 = 0 \Rightarrow x = 3,2$.

2. Нуль знаменателя: $x - 4,8 = 0 \Rightarrow x = 4,8$.

3. Отмечаем точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому нуль числителя ($x=3,2$) включаем в решение (закрашенная точка). Нуль знаменателя ($x=4,8$) всегда исключается (выколотая точка).

---[3,2]---(4,8)---> x

4. Знаки на интервалах $(-\infty; 3,2]$, $(3,2; 4,8)$, $(4,8; +\infty)$: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком "+" и закрашенная точка.

Ответ: $x \in (-\infty; 3,2] \cup (4,8; +\infty)$

4) $\frac{x + 6,2}{x - 1,6} \le 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x + 6,2 = 0 \Rightarrow x = -6,2$.

2. Нуль знаменателя: $x - 1,6 = 0 \Rightarrow x = 1,6$.

3. Отмечаем точки. $x = -6,2$ — закрашенная (неравенство нестрогое), $x = 1,6$ — выколотая (знаменатель).

---[-6,2]---(1,6)---> x

4. Знаки на интервалах $(-\infty; -6,2]$, $[-6,2; 1,6)$, $(1,6; +\infty)$: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in [-6,2; 1,6)$

5) $\frac{6 - x}{x - 5} \ge 0$

Чтобы применить стандартный метод интервалов, приведем выражение к виду, где переменная $x$ в каждом сомножителе имеет положительный коэффициент. Для этого умножим числитель и знаменатель на -1, что не изменит дробь, но для удобства умножим числитель на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{-(x - 6)}{x - 5} \ge 0 \Rightarrow \frac{x - 6}{x - 5} \le 0$

1. Нуль числителя: $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.

2. Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

3. Отмечаем точки. $x = 6$ — закрашенная, $x = 5$ — выколотая.

---(5)---[6]---> x

4. Для $\frac{x - 6}{x - 5}$ знаки на интервалах: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где $\frac{x - 6}{x - 5} \le 0$, то есть интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (5; 6]$

6) $\frac{(x + 13)(x + 2)}{x - 13} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нули числителя: $x + 13 = 0 \Rightarrow x = -13$; $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

2. Нуль знаменателя: $x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$.

3. Отмечаем точки. $x = -13$ и $x = -2$ — закрашенные, $x = 13$ — выколотая.

---[-13]---[-2]---(13)---> x

4. Определяем знаки на интервалах $(-\infty; -13]$, $[-13; -2]$, $[-2; 13)$, $(13; +\infty)$. Правый крайний интервал имеет знак "+". Далее знаки чередуются: "-", "+", "-", "+".

5. Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in [-13; -2] \cup (13; +\infty)$

7) $\frac{x - 3,5}{(x + 6)(x - 12)} \le 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x - 3,5 = 0 \Rightarrow x = 3,5$.

2. Нули знаменателя: $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$; $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12$.

3. Отмечаем точки. $x = 3,5$ — закрашенная, $x = -6$ и $x = 12$ — выколотые.

---(-6)---[3,5]---(12)---> x

4. Определяем знаки на интервалах. Правый крайний "+", далее знаки чередуются: "-", "+", "-", "+".

5. Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [3,5; 12)$

8) $\frac{x + 7,2}{(10 - x)(x - 3)} \ge 0$

Преобразуем выражение, чтобы убрать "-" перед $x$ в скобке $(10-x)$.

$\frac{x + 7,2}{-(x - 10)(x - 3)} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x + 7,2}{(x - 10)(x - 3)} \le 0$

1. Нуль числителя: $x + 7,2 = 0 \Rightarrow x = -7,2$.

2. Нули знаменателя: $x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$; $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

3. Отмечаем точки. $x = -7,2$ — закрашенная, $x = 3$ и $x = 10$ — выколотые.

---[-7,2]---(3)---(10)---> x

4. Определяем знаки для преобразованного выражения. Правый крайний "+", далее знаки чередуются: "-", "+", "-", "+".

5. Нам нужны интервалы со знаком "-" для неравенства $\le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,2] \cup (3; 10)$

36. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \ge 0;$

2) $(x^2 - 10x + 9)(x^2 + 4x) < 0;$

3) $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 3x + 6) \le 0;$

4) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 - 8x + 7} > 0;$

5) $\frac{x^2 - x - 20}{x^2 - 36} \le 0.$

1) $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \geq 0$

Разложим каждую скобку на множители:

$x^2 - 10x = x(x - 10)$

$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ (разность квадратов)

Неравенство принимает вид:

$x(x + 7)(x - 7)(x - 10) \geq 0$

Найдем корни левой части уравнения, приравняв ее к нулю. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 0$, $x_3 = 7$, $x_4 = 10$.

Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки выражения на полученных интервалах (метод интервалов). Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), корни включаются в решение.

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [0; 7] \cup [10; +\infty)$

2) $(x^2 - 10x + 9)(x^2 + 4x) < 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен:

Для $x^2 - 10x + 9 = 0$, по теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Значит, $x^2 - 10x + 9 = (x - 1)(x - 9)$.

$x^2 + 4x = x(x + 4)$

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)(x - 9)x(x + 4) < 0$

Корни левой части: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = 9$.

Нанесем корни на числовую прямую. Поскольку неравенство строгое ($<$), корни не включаются в решение (точки выколотые).

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (со знаком "-").

Ответ: $x \in (-4; 0) \cup (1; 9)$

3) $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 3x + 6) \leq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Для $x^2 + 2x - 3$: найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.

Для $x^2 + 3x + 6$: найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, то выражение $x^2 + 3x + 6$ всегда положительно при любом $x$.

Так как $x^2 + 3x + 6 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$(x - 1)(x + 3) \leq 0$

Это квадратичная парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках -3 и 1. Значения меньше или равны нулю находятся между корнями.

Ответ: $x \in [-3; 1]$

4) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 - 8x + 7} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 7x - 8 = 0$. Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -1$. Так что $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Знаменатель: $x^2 - 8x + 7 = 0$. Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = 1$. Так что $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 8)(x + 1)}{(x - 1)(x - 7)} > 0$

Найдем нули числителя ($x = 8, x = -1$) и нули знаменателя ($x = 1, x = 7$). Нанесем все точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое ($>$), все точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 7) \cup (8; +\infty)$

5) $\frac{x^2 - x - 20}{x^2 - 36} \leq 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - x - 20 = 0$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -4$. Так что $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$.

Знаменатель: $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 5)(x + 4)}{(x - 6)(x + 6)} \leq 0$

Нули числителя: $x = 5, x = -4$. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), эти точки включаются в решение.

Нули знаменателя: $x = 6, x = -6$. Эти точки всегда исключаются из решения (выколотые).

Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки.

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-6; -4] \cup [5; 6)$

37. Решите неравенство:

1) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0;$

2) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 \ge 0;$

3) $(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5 \le 0.$

1) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем нули функции $y = (x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3$. Это точки, в которых выражение обращается в ноль: $x=1, x=2, x=3$.

Множители $(x-1)^2$ и $(x-2)^4$ всегда неотрицательны, так как находятся в четной степени. Поскольку неравенство строгое ($>0$), эти множители не могут быть равны нулю. Следовательно, мы должны исключить значения $x=1$ и $x=2$ из рассмотрения.
При $x \ne 1$ и $x \ne 2$ множители $(x-1)^2$ и $(x-2)^4$ строго положительны и не влияют на знак всего выражения. Таким образом, знак левой части неравенства совпадает со знаком множителя $(x-3)^3$.

Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} (x-3)^3 > 0 \\ x \ne 1 \\ x \ne 2 \end{cases}$
Решаем первое неравенство:
$x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$

Условие $x > 3$ автоматически удовлетворяет условиям $x \ne 1$ и $x \ne 2$.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

2) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 \ge 0$

Это нестрогое неравенство. Его решение представляет собой объединение решений строгого неравенства $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0$ и уравнения $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 = 0$.

1. Из предыдущего пункта мы знаем, что решение неравенства $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0$ есть $x \in (3; +\infty)$.

2. Решим уравнение $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$
$x-2=0 \Rightarrow x=2$
$x-3=0 \Rightarrow x=3$
Таким образом, числа $1, 2, 3$ являются решениями.

Объединим полученные результаты: интервал $(3; +\infty)$ и точки $1, 2, 3$. Точка $x=3$ включается в интервал, который становится полуинтервалом $[3; +\infty)$. Точки $x=1$ и $x=2$ являются изолированными решениями.
Ответ: $x \in \{1\} \cup \{2\} \cup [3; +\infty)$.

3) $(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5 \le 0$

Решим неравенство методом интервалов.
Найдем нули функции $y = (x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5$ и определим их кратность:
$x=1$ (кратность 2, четная)
$x=2$ (кратность 3, нечетная)
$x=3$ (кратность 4, четная)
$x=4$ (кратность 5, нечетная)

Отметим эти точки на числовой оси. При переходе через корень нечетной кратности (2 и 4) знак функции будет меняться, а при переходе через корень четной кратности (1 и 3) — сохраняться.
Определим знак на крайнем правом интервале $(4; +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=5$:
$(5-1)^2(5-2)^3(5-3)^4(5-4)^5 = (+)^2(+)^3(+)^4(+)^5 > 0$. Знак «+».

Расставим знаки на остальных интервалах, двигаясь справа налево:

• Интервал $(4; +\infty)$: +
• Переход через $x=4$ (нечетная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(3; 4)$: -
• Переход через $x=3$ (четная кратность): знак сохраняется «-». Интервал $(2; 3)$: -
• Переход через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(1; 2)$: +
• Переход через $x=1$ (четная кратность): знак сохраняется «+». Интервал $(-\infty; 1)$: +

Схема знаков: $(-\infty; 1) \xrightarrow{+} 1 \xrightarrow{+} (1; 2) \xrightarrow{+} 2 \xrightarrow{-} (2; 3) \xrightarrow{-} 3 \xrightarrow{-} (3; 4) \xrightarrow{-} 4 \xrightarrow{+} (4; +\infty)$.

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Выражение меньше нуля ($<0$) на интервалах $(2; 3)$ и $(3; 4)$.
Выражение равно нулю ($=0$) в точках $x=1, x=2, x=3, x=4$.

Объединяя эти множества, получаем:
$ \{1\} \cup \{2\} \cup (2; 3) \cup \{3\} \cup (3; 4) \cup \{4\} $.
Объединение $(2; 3) \cup \{3\} \cup (3; 4)$ вместе с точками $x=2$ и $x=4$ дает отрезок $[2; 4]$.
Точка $x=1$ является изолированным решением.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [2; 4]$.

38. Решите неравенство:

1) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) > 0;$

2) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) \ge 0;$

3) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) < 0;$

4) $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) \le 0.$

Для решения всех четырех неравенств сначала преобразуем выражение, разложив на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 3$. Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Теперь исходное выражение в неравенствах имеет вид $(x-2)^2(x-1)(x-3)$.

Будем решать каждое неравенство методом интервалов. Нули функции $f(x) = (x-2)^2(x-1)(x-3)$ находятся в точках $x=1$, $x=2$, $x=3$. Точка $x=2$ является корнем четной кратности (2), поэтому при переходе через нее знак функции не меняется.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) > 0$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$ и положителен при $x \ne 2$.

Чтобы произведение было строго положительным, необходимо, чтобы оба множителя были положительны и не равны нулю. То есть:

$\begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ (x-1)(x-3) > 0 \end{cases}$

Первое неравенство, $(x-2)^2 > 0$, выполняется для всех $x$, кроме $x=2$.

Второе неравенство, $(x-1)(x-3) > 0$, выполняется, когда $x$ находится за пределами корней 1 и 3. То есть, при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Объединяя эти условия, получаем решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам. Заметим, что точка $x=2$ не попадает в интервалы $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$, поэтому дополнительно ее исключать не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях: когда выражение равно нулю и когда оно строго больше нуля.

1. Выражение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x-1=0$, $x-2=0$ или $x-3=0$. То есть, при $x=1$, $x=2$, $x=3$.

2. Выражение строго больше нуля. Из решения пункта 1) мы знаем, что это выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Объединяя оба случая, мы должны к интервалам $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ добавить точки, где выражение равно нулю. Это точки 1, 2 и 3.

Включая точки 1 и 3, получаем замкнутые лучи: $(-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

Также добавляем изолированную точку $x=2$, которая является решением.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [3, \infty)$.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) < 0$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множитель $(x-2)^2$ был строго положителен, а множитель $(x-1)(x-3)$ был строго отрицателен.

$\begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ (x-1)(x-3) < 0 \end{cases}$

Первое неравенство, $(x-2)^2 > 0$, выполняется для всех $x \ne 2$.

Второе неравенство, $(x-1)(x-3) < 0$, выполняется, когда $x$ находится между корнями 1 и 3. То есть, при $x \in (1, 3)$.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (1, 3)$ и $x \ne 2$. Это дает нам два интервала.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

Запишем неравенство в виде $(x-2)^2(x-1)(x-3) \le 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях: когда выражение равно нулю и когда оно строго меньше нуля.

1. Выражение равно нулю при $x=1$, $x=2$, $x=3$.

2. Выражение строго меньше нуля. Из решения пункта 3) мы знаем, что это выполняется при $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

Объединим множество решений из этих двух пунктов: $\{1, 2, 3\} \cup (1, 2) \cup (2, 3)$.

Это объединение дает замкнутый отрезок от 1 до 3, включающий все точки между ними.

Ответ: $x \in [1, 3]$.

39. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} > 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} < 0;$

4) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \le 0;$

5) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} > 0;$

6) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \ge 0;$

7) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} < 0;$

8) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \le 0.$

1) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 + x - 12$: найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Тогда $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
Для знаменателя $x^2 - 4x + 4$: это формула квадрата разности, $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} > 0$
Найдем нули числителя ($x=3, x=-4$) и нули знаменателя ($x=2$). Отметим эти точки на числовой оси. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=2$ всегда будет выколотой. Так как неравенство строгое ($>0$), нули числителя также будут выколотыми.
Знаменатель $(x-2)^2$ всегда больше нуля при $x \neq 2$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя $(x-3)(x+4)$.
Выражение $(x-3)(x+4)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, она положительна при $x < -4$ и при $x > 3$.
Учитывая, что $x \neq 2$, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; \infty)$

2) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \geq 0$

Используем разложение на множители из предыдущего пункта:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} \geq 0$
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя ($x=3, x=-4$) включаются в решение. Нуль знаменателя ($x=2$) по-прежнему исключается.
Знак дроби определяется знаком числителя $(x-3)(x+4)$, который неотрицателен при $x \in (-\infty; -4] \cup [3; \infty)$.
Точка $x=2$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [3; \infty)$

3) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} < 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} < 0$
Неравенство строгое, все точки ($x=-4, x=2, x=3$) будут выколотыми.
Так как знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен (при $x \neq 2$), знак дроби определяется знаком числителя $(x-3)(x+4)$.
Выражение $(x-3)(x+4)$ отрицательно между его корнями, то есть при $x \in (-4; 3)$.
Из этого интервала необходимо исключить точку $x=2$, где знаменатель обращается в ноль.
Ответ: $x \in (-4; 2) \cup (2; 3)$

4) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \leq 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} \leq 0$
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя ($x=-4, x=3$) включаются в решение. Нуль знаменателя ($x=2$) исключается.
Дробь будет неположительной, если числитель $(x-3)(x+4)$ будет неположительным, то есть при $x \in [-4; 3]$.
Из этого интервала необходимо исключить точку $x=2$.
Ответ: $x \in [-4; 2) \cup (2; 3]$

5) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 + 6x + 9$: это формула квадрата суммы, $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
Для знаменателя $x^2 + 3x - 10$: найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. Тогда $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} > 0$
Найдем нули числителя ($x=-3$) и нули знаменателя ($x=2, x=-5$).
Числитель $(x+3)^2$ всегда больше или равен нулю. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго больше нуля, т.е. $x \neq -3$.
При $x \neq -3$ числитель положителен, значит, для положительности всей дроби знаменатель также должен быть положителен: $(x-2)(x+5) > 0$.
Это парабола с ветвями вверх, она положительна при $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty)$.
Точка $x=-3$ не входит в эти интервалы.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty)$

6) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \geq 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} \geq 0$
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю, т.е. $(x+3)^2 = 0$, откуда $x = -3$.
2. Дробь строго больше нуля. Из предыдущего пункта мы знаем, что это выполняется при $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty)$.
Объединяя эти решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty) \cup \{-3\}$

7) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} < 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} < 0$
Числитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была строго отрицательной, числитель должен быть строго положителен ($x \neq -3$), а знаменатель — строго отрицателен.
Знаменатель $(x-2)(x+5)$ отрицателен между его корнями, то есть при $x \in (-5; 2)$.
Из этого интервала необходимо исключить точку $x = -3$, где числитель равен нулю, и дробь не является строго отрицательной.
Ответ: $x \in (-5; -3) \cup (-3; 2)$

8) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \leq 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} \leq 0$
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Дробь равна нулю, что происходит при $x = -3$.
2. Дробь строго меньше нуля. Из предыдущего пункта мы знаем, что это выполняется при $x \in (-5; -3) \cup (-3; 2)$.
Объединяя эти два случая (интервал и точку, которая "закрывает" разрыв в этом интервале), получаем единый интервал. При этом концы интервала $(-5; 2)$ остаются выколотыми, так как они являются нулями знаменателя.
Ответ: $x \in (-5; 2)$