Номер 35, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+8}{x-7} < 0;$

2) $\frac{x-9}{x+11} > 0;$

3) $\frac{x-3,2}{x-4,8} \ge 0;$

4) $\frac{x+6,2}{x-1,6} \le 0;$

5) $\frac{6-x}{x-5} \ge 0;$

6) $\frac{(x+13)(x+2)}{x-13} \ge 0;$

7) $\frac{x-3,5}{(x+6)(x-12)} \le 0;$

8) $\frac{x+7,2}{(10-x)(x-3)} \ge 0.$

1) $\frac{x + 8}{x - 7} < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём нули числителя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.

2. Найдём нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$.

3. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($< 0$), обе точки будут "выколотыми" (не включаются в решение).

---(-8)---(7)---> x

4. Определим знак выражения в каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -8)$, $(-8; 7)$ и $(7; +\infty)$.

• При $x > 7$, например $x = 10$: $\frac{10 + 8}{10 - 7} = \frac{18}{3} > 0$. Знак "+".
• При $-8 < x < 7$, например $x = 0$: $\frac{0 + 8}{0 - 7} = -\frac{8}{7} < 0$. Знак "-".
• При $x < -8$, например $x = -10$: $\frac{-10 + 8}{-10 - 7} = \frac{-2}{-17} > 0$. Знак "+".

5. Нам нужны значения, где выражение меньше нуля, то есть интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (-8; 7)$

2) $\frac{x - 9}{x + 11} > 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9$.

2. Нуль знаменателя: $x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11$.

3. Отмечаем точки на числовой прямой. Неравенство строгое, обе точки выколотые.

---(-11)---(9)---> x

4. Знаки на интервалах $(-\infty; -11)$, $(-11; 9)$, $(9; +\infty)$: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (9; +\infty)$

3) $\frac{x - 3,2}{x - 4,8} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x - 3,2 = 0 \Rightarrow x = 3,2$.

2. Нуль знаменателя: $x - 4,8 = 0 \Rightarrow x = 4,8$.

3. Отмечаем точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому нуль числителя ($x=3,2$) включаем в решение (закрашенная точка). Нуль знаменателя ($x=4,8$) всегда исключается (выколотая точка).

---[3,2]---(4,8)---> x

4. Знаки на интервалах $(-\infty; 3,2]$, $(3,2; 4,8)$, $(4,8; +\infty)$: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком "+" и закрашенная точка.

Ответ: $x \in (-\infty; 3,2] \cup (4,8; +\infty)$

4) $\frac{x + 6,2}{x - 1,6} \le 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x + 6,2 = 0 \Rightarrow x = -6,2$.

2. Нуль знаменателя: $x - 1,6 = 0 \Rightarrow x = 1,6$.

3. Отмечаем точки. $x = -6,2$ — закрашенная (неравенство нестрогое), $x = 1,6$ — выколотая (знаменатель).

---[-6,2]---(1,6)---> x

4. Знаки на интервалах $(-\infty; -6,2]$, $[-6,2; 1,6)$, $(1,6; +\infty)$: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in [-6,2; 1,6)$

5) $\frac{6 - x}{x - 5} \ge 0$

Чтобы применить стандартный метод интервалов, приведем выражение к виду, где переменная $x$ в каждом сомножителе имеет положительный коэффициент. Для этого умножим числитель и знаменатель на -1, что не изменит дробь, но для удобства умножим числитель на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{-(x - 6)}{x - 5} \ge 0 \Rightarrow \frac{x - 6}{x - 5} \le 0$

1. Нуль числителя: $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.

2. Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

3. Отмечаем точки. $x = 6$ — закрашенная, $x = 5$ — выколотая.

---(5)---[6]---> x

4. Для $\frac{x - 6}{x - 5}$ знаки на интервалах: "+", "-", "+".

5. Нам нужны значения, где $\frac{x - 6}{x - 5} \le 0$, то есть интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (5; 6]$

6) $\frac{(x + 13)(x + 2)}{x - 13} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нули числителя: $x + 13 = 0 \Rightarrow x = -13$; $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

2. Нуль знаменателя: $x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$.

3. Отмечаем точки. $x = -13$ и $x = -2$ — закрашенные, $x = 13$ — выколотая.

---[-13]---[-2]---(13)---> x

4. Определяем знаки на интервалах $(-\infty; -13]$, $[-13; -2]$, $[-2; 13)$, $(13; +\infty)$. Правый крайний интервал имеет знак "+". Далее знаки чередуются: "-", "+", "-", "+".

5. Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in [-13; -2] \cup (13; +\infty)$

7) $\frac{x - 3,5}{(x + 6)(x - 12)} \le 0$

Решаем методом интервалов.

1. Нуль числителя: $x - 3,5 = 0 \Rightarrow x = 3,5$.

2. Нули знаменателя: $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$; $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12$.

3. Отмечаем точки. $x = 3,5$ — закрашенная, $x = -6$ и $x = 12$ — выколотые.

---(-6)---[3,5]---(12)---> x

4. Определяем знаки на интервалах. Правый крайний "+", далее знаки чередуются: "-", "+", "-", "+".

5. Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [3,5; 12)$

8) $\frac{x + 7,2}{(10 - x)(x - 3)} \ge 0$

Преобразуем выражение, чтобы убрать "-" перед $x$ в скобке $(10-x)$.

$\frac{x + 7,2}{-(x - 10)(x - 3)} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x + 7,2}{(x - 10)(x - 3)} \le 0$

1. Нуль числителя: $x + 7,2 = 0 \Rightarrow x = -7,2$.

2. Нули знаменателя: $x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$; $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

3. Отмечаем точки. $x = -7,2$ — закрашенная, $x = 3$ и $x = 10$ — выколотые.

---[-7,2]---(3)---(10)---> x

4. Определяем знаки для преобразованного выражения. Правый крайний "+", далее знаки чередуются: "-", "+", "-", "+".

5. Нам нужны интервалы со знаком "-" для неравенства $\le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,2] \cup (3; 10)$