Номер 36, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \ge 0;$

2) $(x^2 - 10x + 9)(x^2 + 4x) < 0;$

3) $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 3x + 6) \le 0;$

4) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 - 8x + 7} > 0;$

5) $\frac{x^2 - x - 20}{x^2 - 36} \le 0.$

1) $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \geq 0$

Разложим каждую скобку на множители:

$x^2 - 10x = x(x - 10)$

$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ (разность квадратов)

Неравенство принимает вид:

$x(x + 7)(x - 7)(x - 10) \geq 0$

Найдем корни левой части уравнения, приравняв ее к нулю. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 0$, $x_3 = 7$, $x_4 = 10$.

Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки выражения на полученных интервалах (метод интервалов). Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), корни включаются в решение.

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [0; 7] \cup [10; +\infty)$

2) $(x^2 - 10x + 9)(x^2 + 4x) < 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен:

Для $x^2 - 10x + 9 = 0$, по теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Значит, $x^2 - 10x + 9 = (x - 1)(x - 9)$.

$x^2 + 4x = x(x + 4)$

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)(x - 9)x(x + 4) < 0$

Корни левой части: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = 9$.

Нанесем корни на числовую прямую. Поскольку неравенство строгое ($<$), корни не включаются в решение (точки выколотые).

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (со знаком "-").

Ответ: $x \in (-4; 0) \cup (1; 9)$

3) $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 3x + 6) \leq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Для $x^2 + 2x - 3$: найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.

Для $x^2 + 3x + 6$: найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, то выражение $x^2 + 3x + 6$ всегда положительно при любом $x$.

Так как $x^2 + 3x + 6 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$(x - 1)(x + 3) \leq 0$

Это квадратичная парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках -3 и 1. Значения меньше или равны нулю находятся между корнями.

Ответ: $x \in [-3; 1]$

4) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 - 8x + 7} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 7x - 8 = 0$. Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -1$. Так что $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Знаменатель: $x^2 - 8x + 7 = 0$. Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = 1$. Так что $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 8)(x + 1)}{(x - 1)(x - 7)} > 0$

Найдем нули числителя ($x = 8, x = -1$) и нули знаменателя ($x = 1, x = 7$). Нанесем все точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое ($>$), все точки выколотые.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 7) \cup (8; +\infty)$

5) $\frac{x^2 - x - 20}{x^2 - 36} \leq 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - x - 20 = 0$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -4$. Так что $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$.

Знаменатель: $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 5)(x + 4)}{(x - 6)(x + 6)} \leq 0$

Нули числителя: $x = 5, x = -4$. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), эти точки включаются в решение.

Нули знаменателя: $x = 6, x = -6$. Эти точки всегда исключаются из решения (выколотые).

Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки.

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-6; -4] \cup [5; 6)$