gdz.top
Страница 10 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Cтраница 10
Страница 9
№31 (с. 10)
Условие. №31 (с. 10)
31. Равносильны ли неравенства:
1) $x - 9 > 11$ и $-3x < -60;$
2) $(x - 2)^2 (x - 1) > 0$ и $x - 1 > 0;$
3) $(x - 2)^2 (x - 1) \ge 0$ и $x - 1 \ge 0;$
4) $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$ и $x > 3;$
5) $x^2 \ge -2x$ и $x \ge -2;$
6) $\sqrt{x - 8} < -2$ и $(x - 8)^2 \le 0;$
7) $\sqrt{x - 8} \ge -2$ и $(x - 8)^2 \ge 0;$
8) $\sqrt{x - 8} < -2$ и $(x - 8)^2 < 0?$
Решение. №31 (с. 10)
1) Решим первое неравенство: $x - 9 > 11$.
Прибавим 9 к обеим частям неравенства: $x > 11 + 9$, что дает $x > 20$.
Множество решений: $(20, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $-3x < -60$.
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный: $x > \frac{-60}{-3}$, что дает $x > 20$.
Множество решений: $(20, +\infty)$.
Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да, равносильны.
2) Решим первое неравенство: $(x - 2)^2 (x - 1) > 0$.
Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = 2$ и положителен при $x \neq 2$.
Для выполнения неравенства произведение должно быть строго положительным, поэтому оба множителя должны быть положительны и не равны нулю. Это требует одновременного выполнения условий: $(x - 2)^2 > 0$ и $x - 1 > 0$.
Из $(x - 2)^2 > 0$ следует, что $x \neq 2$.
Из $x - 1 > 0$ следует, что $x > 1$.
Объединяя эти условия, получаем множество решений: $(1, 2) \cup (2, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x - 1 > 0$.
Его решение: $x > 1$. Множество решений: $(1, +\infty)$.
Множества решений $(1, 2) \cup (2, +\infty)$ и $(1, +\infty)$ не совпадают (второе включает точку $x=2$, а первое — нет). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.
3) Решим первое неравенство: $(x - 2)^2 (x - 1) \ge 0$.
Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен ($(x - 2)^2 \ge 0$).
Произведение будет неотрицательным, если второй множитель $x - 1$ также неотрицателен, то есть $x - 1 \ge 0$.
Это дает $x \ge 1$. При $x \ge 1$ оба множителя $(x-2)^2$ и $(x-1)$ неотрицательны, и их произведение тоже неотрицательно.
Множество решений: $[1, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x - 1 \ge 0$.
Его решение: $x \ge 1$. Множество решений: $[1, +\infty)$.
Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да, равносильны.
4) Решим первое неравенство: $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.
Перенесем все в левую часть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{3 - x}{3x} < 0$.
Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Случай 1: $3 - x > 0$ и $3x < 0$. Это дает $x < 3$ и $x < 0$, что равносильно $x < 0$.
Случай 2: $3 - x < 0$ и $3x > 0$. Это дает $x > 3$ и $x > 0$, что равносильно $x > 3$.
Множество решений: $(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x > 3$.
Множество решений: $(3, +\infty)$.
Множества решений не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.
5) Решим первое неравенство: $x^2 \ge -2x$.
Перенесем все в левую часть: $x^2 + 2x \ge 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 2) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x+2)=0$ равны $x=0$ и $x=-2$. Графиком функции $y=x(x+2)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $x \le -2$ и $x \ge 0$.
Множество решений: $(-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x \ge -2$.
Множество решений: $[-2, +\infty)$.
Множества решений не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.
6) Решим первое неравенство: $\sqrt{x-8} < -2$.
Арифметический квадратный корень по определению всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x-8} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 8$).
Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа (-2).
Следовательно, это неравенство не имеет решений. Множество решений — пустое множество $\emptyset$.
Решим второе неравенство: $(x-8)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-8)^2 \ge 0$.
Единственная возможность для выполнения неравенства — это равенство $(x-8)^2 = 0$, которое достигается при $x - 8 = 0$, то есть $x = 8$.
Множество решений: $\{8\}$.
Множества решений $\emptyset$ и $\{8\}$ не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.
7) Решим первое неравенство: $\sqrt{x-8} \ge -2$.
Область определения неравенства: $x - 8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$.
Для любого $x$ из области определения значение $\sqrt{x-8}$ неотрицательно. Любое неотрицательное число всегда больше или равно -2.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из его области определения.
Множество решений: $[8, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $(x-8)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Следовательно, это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.
Множество решений: $(-\infty, +\infty)$.
Множества решений $[8, +\infty)$ и $(-\infty, +\infty)$ не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.
8) Решим первое неравенство: $\sqrt{x-8} < -2$.
Как и в пункте 6, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому это неравенство не имеет решений.
Множество решений — пустое множество $\emptyset$.
Решим второе неравенство: $(x-8)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть строго меньше нуля.
Следовательно, это неравенство также не имеет решений.
Множество решений — пустое множество $\emptyset$.
Множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми множествами), следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да, равносильны.
№32 (с. 10)
Условие. №32 (с. 10)
32. Какое из двух уравнений является следствием другого:
1) $x^5 = 9x^3$ и $x^2 = 9;$
2) $\frac{x-7}{x-7} = 1$ и $x - x = 0;$
3) $|x - 3| = 4$ и $(x - 3)^3 = 64;$
4) $\frac{x}{\sqrt{x - 6}} = \frac{36}{\sqrt{x - 6}}$ и $x = 36;$
5) $x^2 = 16$ и $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x - 2}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x - 2}};$
6) $\sqrt{x - 17} \cdot \sqrt{x + 42} = 0$ и $\sqrt{(x - 17)(x + 42)} = 0;$
7) $(x + 14)\sqrt{x - 24} = 0$ и $(x - 24)\sqrt{x + 14} = 0?$
Решение. №32 (с. 10)
Уравнение B является следствием уравнения A, если множество корней уравнения A является подмножеством множества корней уравнения B. Найдем корни каждого уравнения.
Первое уравнение: $x^5 = 9x^3$.
$x^5 - 9x^3 = 0$
$x^3(x^2 - 9) = 0$
$x^3(x-3)(x+3) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$. Множество корней $S_1 = \{-3, 0, 3\}$.
Второе уравнение: $x^2 = 9$.
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Множество корней $S_2 = \{-3, 3\}$.
Сравниваем множества корней: $S_2 \subset S_1$. Это означает, что любой корень второго уравнения является корнем первого. Следовательно, первое уравнение является следствием второго.
Ответ: уравнение $x^5 = 9x^3$ является следствием уравнения $x^2 = 9$.
Первое уравнение: $\frac{x-7}{x-7} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$. Для любого $x$ из ОДЗ уравнение представляет собой верное равенство $1=1$. Таким образом, множество решений первого уравнения $S_1 = \mathbb{R} \setminus \{7\}$.
Второе уравнение: $x - x = 0$.
Это уравнение равносильно $0=0$, что верно для любого действительного числа $x$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \mathbb{R}$.
Сравниваем множества решений: $S_1 \subset S_2$. Любое решение первого уравнения является решением второго. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: уравнение $x - x = 0$ является следствием уравнения $\frac{x-7}{x-7} = 1$.
Первое уравнение: $|x - 3| = 4$.
Равносильно совокупности: $x - 3 = 4$ или $x - 3 = -4$.
Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -1$. Множество корней $S_1 = \{-1, 7\}$.
Второе уравнение: $(x - 3)^3 = 64$.
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x - 3 = \sqrt[3]{64}$, то есть $x - 3 = 4$.
Корень: $x = 7$. Множество корней $S_2 = \{7\}$.
Сравниваем множества корней: $S_2 \subset S_1$. Любой корень второго уравнения является корнем первого. Следовательно, первое уравнение является следствием второго.
Ответ: уравнение $|x - 3| = 4$ является следствием уравнения $(x - 3)^3 = 64$.
Первое уравнение: $\frac{x}{\sqrt{x-6}} = \frac{36}{\sqrt{x-6}}$.
ОДЗ: $x-6 > 0 \Rightarrow x > 6$. На этой области уравнение равносильно $x=36$. Значение $x=36$ удовлетворяет ОДЗ. Множество корней $S_1 = \{36\}$.
Второе уравнение: $x=36$. Множество корней $S_2 = \{36\}$.
Множества корней совпадают ($S_1 = S_2$), значит, уравнения равносильны. Каждое из равносильных уравнений является следствием другого.
Ответ: уравнения являются равносильными, каждое является следствием другого.
Первое уравнение: $x^2 = 16$.
Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$. Множество корней $S_1 = \{-4, 4\}$.
Второе уравнение: $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-2}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-2}}$.
ОДЗ: $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$. На ОДЗ уравнение равносильно $x^2 = 16$. Корни этого уравнения $x=4$ и $x=-4$. Условию $x>2$ удовлетворяет только $x=4$. Множество корней второго уравнения $S_2 = \{4\}$.
Сравниваем множества корней: $S_2 \subset S_1$. Любой корень второго уравнения является корнем первого. Следовательно, первое уравнение является следствием второго.
Ответ: уравнение $x^2 = 16$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-2}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-2}}$.
Первое уравнение: $\sqrt{x-17} \cdot \sqrt{x+42} = 0$.
ОДЗ: $x-17 \ge 0$ и $x+42 \ge 0$, что дает $x \ge 17$.
На ОДЗ уравнение равносильно совокупности $\sqrt{x-17}=0$ или $\sqrt{x+42}=0$.
$x-17=0 \Rightarrow x=17$ (входит в ОДЗ).
$x+42=0 \Rightarrow x=-42$ (не входит в ОДЗ).
Единственный корень $x=17$. Множество корней $S_1 = \{17\}$.
Второе уравнение: $\sqrt{(x-17)(x+42)} = 0$.
ОДЗ: $(x-17)(x+42) \ge 0$, что дает $x \in (-\infty, -42] \cup [17, \infty)$.
Уравнение равносильно $(x-17)(x+42)=0$. Корни $x=17$ и $x=-42$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Множество корней $S_2 = \{-42, 17\}$.
Сравниваем множества корней: $S_1 \subset S_2$. Любой корень первого уравнения является корнем второго. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: уравнение $\sqrt{(x-17)(x+42)} = 0$ является следствием уравнения $\sqrt{x-17} \cdot \sqrt{x+42} = 0$.
Первое уравнение: $(x+14)\sqrt{x-24}=0$.
ОДЗ: $x-24 \ge 0 \Rightarrow x \ge 24$.
На ОДЗ уравнение равносильно совокупности $x+14=0$ или $\sqrt{x-24}=0$.
$x=-14$ (не входит в ОДЗ).
$x=24$ (входит в ОДЗ).
Единственный корень $x=24$. Множество корней $S_1 = \{24\}$.
Второе уравнение: $(x-24)\sqrt{x+14}=0$.
ОДЗ: $x+14 \ge 0 \Rightarrow x \ge -14$.
На ОДЗ уравнение равносильно совокупности $x-24=0$ или $\sqrt{x+14}=0$.
$x=24$ (входит в ОДЗ).
$x=-14$ (входит в ОДЗ).
Корни $x=24$ и $x=-14$. Множество корней $S_2 = \{-14, 24\}$.
Сравниваем множества корней: $S_1 \subset S_2$. Любой корень первого уравнения является корнем второго. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: уравнение $(x-24)\sqrt{x+14}=0$ является следствием уравнения $(x+14)\sqrt{x-24}=0$.
№33 (с. 10)
Условие. №33 (с. 10)
33. Какое из двух неравенств является следствием другого:
1) $x < 2$ и $x \le -5$;
2) $x \ge 8$ и $x > 8$;
3) $|x| < 9$ и $x < 9$;
4) $x^2 > 25$ и $x > 5$?
Решение. №33 (с. 10)
Чтобы определить, какое из двух неравенств является следствием другого, необходимо сравнить множества их решений. Если множество решений одного неравенства (назовем его B) является подмножеством множества решений другого неравенства (назовем его A), то неравенство A является следствием неравенства B. Другими словами, если из истинности неравенства B всегда следует истинность неравенства A.
1) $x < 2$ и $x \le -5$
Множество решений неравенства $x \le -5$ - это числовой луч $(-\infty; -5]$.
Множество решений неравенства $x < 2$ - это числовой луч $(-\infty; 2)$.
Любое число, которое меньше или равно $-5$, очевидно, будет меньше $2$. Таким образом, множество решений неравенства $x \le -5$ является подмножеством множества решений неравенства $x < 2$: $(-\infty; -5] \subset (-\infty; 2)$.
Следовательно, неравенство $x < 2$ является следствием неравенства $x \le -5$.
Ответ: Неравенство $x < 2$ является следствием неравенства $x \le -5$.
2) $x \ge 8$ и $x > 8$
Множество решений неравенства $x > 8$ - это открытый числовой луч $(8; +\infty)$.
Множество решений неравенства $x \ge 8$ - это числовой луч $[8; +\infty)$.
Любое число, которое строго больше $8$, будет также больше или равно $8$. Таким образом, множество решений неравенства $x > 8$ является подмножеством множества решений неравенства $x \ge 8$: $(8; +\infty) \subset [8; +\infty)$.
Следовательно, неравенство $x \ge 8$ является следствием неравенства $x > 8$.
Ответ: Неравенство $x \ge 8$ является следствием неравенства $x > 8$.
3) $|x| < 9$ и $x < 9$
Неравенство $|x| < 9$ равносильно двойному неравенству $-9 < x < 9$. Его множество решений - это интервал $(-9; 9)$.
Множество решений неравенства $x < 9$ - это числовой луч $(-\infty; 9)$.
Любое число, которое находится в интервале от $-9$ до $9$, очевидно, будет меньше $9$. Таким образом, множество решений неравенства $|x| < 9$ является подмножеством множества решений неравенства $x < 9$: $(-9; 9) \subset (-\infty; 9)$.
Следовательно, неравенство $x < 9$ является следствием неравенства $|x| < 9$.
Ответ: Неравенство $x < 9$ является следствием неравенства $|x| < 9$.
4) $x^2 > 25$ и $x > 5$
Множество решений неравенства $x > 5$ - это открытый числовой луч $(5; +\infty)$.
Решим неравенство $x^2 > 25$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $x > 5$ или $x < -5$. Его множество решений - это объединение двух лучей $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.
Любое число, которое больше $5$, при возведении в квадрат будет больше $25$. Таким образом, множество решений неравенства $x > 5$ является подмножеством множества решений неравенства $x^2 > 25$: $(5; +\infty) \subset (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.
Следовательно, неравенство $x^2 > 25$ является следствием неравенства $x > 5$.
Ответ: Неравенство $x^2 > 25$ является следствием неравенства $x > 5$.
№34 (с. 10)
Условие. №34 (с. 10)
34. Решите неравенство:
1) $(x + 3,2)(x - 4) \ge 0;$
2) $(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0;$
3) $(2x + 3)(4x - 3)(x - 10) \ge 0;$
4) $(5 + x)(x + 1)(3 - x) < 0;$
5) $(x + 6,8)(1 - x)(2 - x) \ge 0;$
6) $(5x + 20)(2 - 6x)(6x - 12)(9 - 2x) \le 0.$
Решение. №34 (с. 10)
Для решения данных неравенств используется метод интервалов. Суть метода заключается в следующем:
- Найти нули (корни) функции, стоящей в левой части неравенства.
- Отметить эти нули на числовой оси. Они разобьют ось на интервалы.
- Определить знак функции на каждом из полученных интервалов, подставив любое значение из интервала в функцию.
- Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку неравенства.
1) $(x + 3,2)(x - 4) \ge 0$
Находим нули функции:
$x + 3,2 = 0 \Rightarrow x_1 = -3,2$
$x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$
Отмечаем точки $-3,2$ и $4$ на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки включаются в решение (закрашенные).
Определяем знаки на интервалах:
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $(5 + 3,2)(5 - 4) = 8,2 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
- При $-3,2 < x < 4$ (например, $x=0$): $(0 + 3,2)(0 - 4) = 3,2 \cdot (-4) < 0$. Знак "-".
- При $x < -3,2$ (например, $x=-4$): $(-4 + 3,2)(-4 - 4) = -0,8 \cdot (-8) > 0$. Знак "+".
Знаки на оси: $(+) \rightarrow [-3,2] \rightarrow (-) \rightarrow [4] \rightarrow (+)$.
Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3,2] \cup [4; +\infty)$.
2) $(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0$
Находим нули функции:
$x_1 = -7$, $x_2 = 6$, $x_3 = 14$.
Отмечаем точки на оси. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки не включаются (выколотые).
При $x > 14$ выражение положительно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются.
Знаки на оси: $(-) \rightarrow (-7) \rightarrow (+) \rightarrow (6) \rightarrow (-) \rightarrow (14) \rightarrow (+)$.
Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство $< 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (6; 14)$.
3) $(2x + 3)(4x - 3)(x - 10) \ge 0$
Находим нули функции:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -1,5$
$4x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 0,75$
$x - 10 = 0 \Rightarrow x_3 = 10$
Точки $-1,5$, $0,75$, $10$ включаются в решение.
При $x > 10$ выражение положительно. Знаки чередуются.
Знаки на оси: $(-) \rightarrow [-1,5] \rightarrow (+) \rightarrow [0,75] \rightarrow (-) \rightarrow [10] \rightarrow (+)$.
Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.
Ответ: $x \in [-1,5; 0,75] \cup [10; +\infty)$.
4) $(5 + x)(x + 1)(3 - x) < 0$
Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждой скобке был положительным.
$(x + 5)(x + 1)(-(x - 3)) < 0$
Домножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$(x + 5)(x + 1)(x - 3) > 0$
Находим нули: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 3$. Точки выколотые.
При $x > 3$ выражение положительно. Знаки чередуются.
Знаки на оси: $(-) \rightarrow (-5) \rightarrow (+) \rightarrow (-1) \rightarrow (-) \rightarrow (3) \rightarrow (+)$.
Выбираем интервалы со знаком "+", так как решаем преобразованное неравенство $> 0$.
Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (3; +\infty)$.
5) $(x + 6,8)(1 - x)(2 - x) \ge 0$
Преобразуем неравенство:
$(x + 6,8)(-(x - 1))(-(x - 2)) \ge 0$
$(x + 6,8)(x - 1)(x - 2) \ge 0$
Находим нули: $x_1 = -6,8$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$. Точки закрашенные.
При $x > 2$ выражение положительно. Знаки чередуются.
Знаки на оси: $(-) \rightarrow [-6,8] \rightarrow (+) \rightarrow [1] \rightarrow (-) \rightarrow [2] \rightarrow (+)$.
Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.
Ответ: $x \in [-6,8; 1] \cup [2; +\infty)$.
6) $(5x + 20)(2 - 6x)(6x - 12)(9 - 2x) \le 0$
Вынесем общие множители и преобразуем скобки:
$5(x + 4) \cdot (-2)(3x - 1) \cdot 6(x - 2) \cdot (-(2x - 9)) \le 0$
$5 \cdot (-2) \cdot 6 \cdot (-1) \cdot (x + 4)(3x - 1)(x - 2)(2x - 9) \le 0$
$60(x + 4)(3x - 1)(x - 2)(2x - 9) \le 0$
Разделим обе части на 60 (знак неравенства не меняется):
$(x + 4)(3x - 1)(x - 2)(2x - 9) \le 0$
Находим нули:
$x_1 = -4$, $x_2 = 1/3$, $x_3 = 2$, $x_4 = 9/2 = 4,5$. Точки закрашенные.
При $x > 4,5$ выражение положительно. Знаки чередуются.
Знаки на оси: $(+) \rightarrow [-4] \rightarrow (-) \rightarrow [1/3] \rightarrow (+) \rightarrow [2] \rightarrow (-) \rightarrow [4,5] \rightarrow (+)$.
Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство $\le 0$.
Ответ: $x \in [-4; \frac{1}{3}] \cup [2; 4,5]$.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.