Страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Сколько корней в зависимости от значения $a$ имеет уравнение:

1) $x^{16} = a-7$;

2) $x^{10} = a^2+9a-10?$

1) $x^{16} = a - 7$

Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = C$, где $2n=16$ — четная степень, а $C = a-7$. Количество действительных корней такого уравнения зависит от знака выражения в правой части.

Рассмотрим три случая:

1. Если правая часть положительна: $a - 7 > 0$, то есть $a > 7$. В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt[16]{a-7}$ и $x_2 = -\sqrt[16]{a-7}$.

2. Если правая часть равна нулю: $a - 7 = 0$, то есть $a = 7$. Уравнение принимает вид $x^{16} = 0$ и имеет один действительный корень: $x = 0$.

3. Если правая часть отрицательна: $a - 7 < 0$, то есть $a < 7$. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень любого действительного числа не может быть отрицательной ($x^{16} \ge 0$).

Ответ: если $a > 7$, то 2 корня; если $a = 7$, то 1 корень; если $a < 7$, то корней нет.

2) $x^{10} = a^2 + 9a - 10$

Поскольку $x$ возводится в четную степень ($10$), количество действительных корней уравнения зависит от знака выражения в правой части: $a^2 + 9a - 10$.

Исследуем знак квадратного трехчлена $f(a) = a^2 + 9a - 10$. Для этого найдем его корни, решив уравнение $a^2 + 9a - 10 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно $-10$. Корнями являются $a_1 = -10$ и $a_2 = 1$.

Графиком функции $y = a^2 + 9a - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Рассмотрим три случая:

1. Если правая часть положительна: $a^2 + 9a - 10 > 0$. Это неравенство выполняется, когда $a$ находится вне интервала между корнями, то есть при $a \in (-\infty, -10) \cup (1, \infty)$. В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \pm\sqrt[10]{a^2 + 9a - 10}$.

2. Если правая часть равна нулю: $a^2 + 9a - 10 = 0$. Это происходит при $a = -10$ или $a = 1$. Уравнение принимает вид $x^{10} = 0$ и имеет один действительный корень: $x = 0$.

3. Если правая часть отрицательна: $a^2 + 9a - 10 < 0$. Это неравенство выполняется, когда $a$ находится между корнями, то есть при $a \in (-10, 1)$. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, так как $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$.

Ответ: если $a < -10$ или $a > 1$, то 2 корня; если $a = -10$ или $a = 1$, то 1 корень; если $-10 < a < 1$, то корней нет.

58. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-5) > f(-3);$

2) $f(-5) < f(3);$

3) $f(-5) < f(-3);$

4) $f(-5) > f(3)?$

Для решения задачи проанализируем свойства степенной функции $y = f(x) = x^n$ в зависимости от чётности натурального показателя $n$.

• Если $n$ — чётное натуральное число ($n=2, 4, 6, \ldots$), то функция $y=x^n$ является чётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0, \infty)$ — возрастает.
• Если $n$ — нечётное натуральное число ($n=1, 3, 5, \ldots$), то функция $y=x^n$ является нечётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$. Функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n > (-3)^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$ и $(-3)^n = 3^n$. Неравенство принимает вид $5^n > 3^n$. Так как $5 > 3$ и $n$ — натуральное число, это неравенство верно.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$ и $(-3)^n = -3^n$. Неравенство принимает вид $-5^n > -3^n$. Умножив на $-1$, получим $5^n < 3^n$, что неверно, так как $5 > 3$.

Другой способ рассуждения: аргументы $-5$ и $-3$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$. Неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ при $x_1 < x_2$ означает, что функция на этом промежутке убывает. Это свойство функции $y=x^n$ с чётным показателем $n$.

Ответ: чётным.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n < 3^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$. Неравенство принимает вид $5^n < 3^n$, что неверно.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$. Неравенство принимает вид $-5^n < 3^n$. Это неравенство верно, так как слева стоит отрицательное число, а справа — положительное.

Ответ: нечётным.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n < (-3)^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$ и $(-3)^n = 3^n$. Неравенство принимает вид $5^n < 3^n$, что неверно.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$ и $(-3)^n = -3^n$. Неравенство принимает вид $-5^n < -3^n$. Умножив на $-1$, получим $5^n > 3^n$, что верно.

Другой способ рассуждения: аргументы $-5$ и $-3$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$. Неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ при $x_1 < x_2$ означает, что функция на этом промежутке возрастает. Это свойство функции $y=x^n$ с нечётным показателем $n$.

Ответ: нечётным.

Подставим значения в функцию: $(-5)^n > 3^n$.
Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-5)^n = 5^n$. Неравенство принимает вид $5^n > 3^n$, что верно, так как $5>3$.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-5)^n = -5^n$. Неравенство принимает вид $-5^n > 3^n$. Это неравенство неверно, так как отрицательное число не может быть больше положительного.

Ответ: чётным.

59. Проходит ли график функции $y = x^{-7}$ через точку:

1) A (-2; -128);

2) B ($\frac{1}{2}$; 128);

3) C (-1; -7);

4) D (1; 1)?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^{-7}$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки (x; y) в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) A (-2; -128)
Подставим координаты точки А в уравнение функции $y = x^{-7}$:
$x = -2$, $y = -128$.
Проверим равенство: $-128 = (-2)^{-7}$ ?
Вычислим правую часть: $(-2)^{-7} = \frac{1}{(-2)^7}$.
Так как степень 7 нечетная, то $(-2)^7 = -2^7 = -128$.
Следовательно, $(-2)^{-7} = \frac{1}{-128} = -\frac{1}{128}$.
Получаем равенство: $-128 = -\frac{1}{128}$, которое является неверным.
Значит, график функции не проходит через точку А.
Ответ: нет.

2) B (1/2; 128)
Подставим координаты точки B в уравнение функции $y = x^{-7}$:
$x = \frac{1}{2}$, $y = 128$.
Проверим равенство: $128 = (\frac{1}{2})^{-7}$ ?
Вычислим правую часть, используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{2})^{-7} = (\frac{2}{1})^7 = 2^7 = 128$.
Получаем равенство: $128 = 128$, которое является верным.
Значит, график функции проходит через точку B.
Ответ: да.

3) C (-1; -7)
Подставим координаты точки C в уравнение функции $y = x^{-7}$:
$x = -1$, $y = -7$.
Проверим равенство: $-7 = (-1)^{-7}$ ?
Вычислим правую часть: $(-1)^{-7} = \frac{1}{(-1)^7}$.
Так как степень 7 нечетная, то $(-1)^7 = -1$.
Следовательно, $(-1)^{-7} = \frac{1}{-1} = -1$.
Получаем равенство: $-7 = -1$, которое является неверным.
Значит, график функции не проходит через точку C.
Ответ: нет.

4) D (1; 1)
Подставим координаты точки D в уравнение функции $y = x^{-7}$:
$x = 1$, $y = 1$.
Проверим равенство: $1 = 1^{-7}$ ?
Вычислим правую часть: $1^{-7} = \frac{1}{1^7} = \frac{1}{1} = 1$.
Получаем равенство: $1 = 1$, которое является верным.
Значит, график функции проходит через точку D.
Ответ: да.

60. При каком значении $a$ график функции $y = ax^{-5}$ проходит через точку $B (-3; 1)$?

Для того чтобы график функции $y = ax^{-5}$ проходил через точку $B(-3; 1)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что при подстановке $x = -3$ и $y = 1$ в уравнение функции, мы должны получить верное равенство.

Подставим значения координат точки $B$ в уравнение $y = ax^{-5}$:
$1 = a \cdot (-3)^{-5}$

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно переменной $a$. Сначала вычислим значение $(-3)^{-5}$. Используем свойство степени с отрицательным показателем $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$:
$(-3)^{-5} = \frac{1}{(-3)^5}$

Вычислим знаменатель:
$(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$

Следовательно, $(-3)^{-5} = \frac{1}{-243} = -\frac{1}{243}$.

Теперь подставим полученное значение обратно в наше уравнение:
$1 = a \cdot \left(-\frac{1}{243}\right)$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на $(-\frac{1}{243})$, что равносильно умножению на $-243$:
$a = 1 \cdot (-243)$
$a = -243$

Таким образом, при $a = -243$ график функции $y = -243x^{-5}$ проходит через точку $B(-3; 1)$.
Ответ: $-243$.

61. Дана функция $f(x) = x^{-17}$. Сравните:

1) $f(5)$ и $f(-12)$;

2) $f(1,9)$ и $f(2,4)$;

3) $f(-50)$ и $f(-30)$.

Дана функция $f(x) = x^{-17}$. Эту функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{17}}$.

Для того чтобы сравнить значения функции, исследуем ее свойства:

• Область определения: Функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. То есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Проверим значение функции для $-x$:
  $f(-x) = (-x)^{-17} = \frac{1}{(-x)^{17}} = \frac{1}{-x^{17}} = - \frac{1}{x^{17}} = -f(x)$.
  Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Это означает, что для $x > 0$, $f(x)$ и $f(-x)$ имеют противоположные знаки.
• Монотонность: Найдем производную функции, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.
  $f'(x) = (x^{-17})' = -17 \cdot x^{-17-1} = -17x^{-18} = -\frac{17}{x^{18}}$.
  Поскольку $x^{18}$ (как любая четная степень) всегда положительно при $x \neq 0$, то производная $f'(x) = -\frac{17}{x^{18}}$ всегда отрицательна для любого $x$ из области определения. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
  Это означает, что если $x_1 < x_2$ (и оба значения принадлежат одному и тому же промежутку), то $f(x_1) > f(x_2)$.

Теперь сравним заданные значения функции.

1) f(5) и f(-12)

Аргументы 5 и -12 принадлежат разным промежуткам непрерывности. Поэтому мы не можем напрямую применить свойство монотонности. Вместо этого определим знаки значений функции.
$f(5) = 5^{-17} = \frac{1}{5^{17}}$. Это число положительное, так как $5^{17} > 0$.
$f(-12) = (-12)^{-17} = \frac{1}{(-12)^{17}}$. Так как 17 — нечетное число, $(-12)^{17}$ будет отрицательным. Следовательно, $f(-12) = -\frac{1}{12^{17}}$ — число отрицательное.
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $f(5) > f(-12)$.

Ответ: $f(5) > f(-12)$.

2) f(1,9) и f(2,4)

Аргументы 1,9 и 2,4 оба принадлежат промежутку $(0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает.
Сравним аргументы: $1,9 < 2,4$.
Поскольку функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $f(1,9) > f(2,4)$.

Ответ: $f(1,9) > f(2,4)$.

3) f(-50) и f(-30)

Аргументы -50 и -30 оба принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. На этом промежутке функция $f(x)$ также убывает.
Сравним аргументы: $-50 < -30$.
Так как функция убывающая на этом промежутке, большему значению аргумента (-30) соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-50) > f(-30)$.

Ответ: $f(-50) > f(-30)$.

62. Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Сравните:

1) $f(7,2)$ и $f(6,5)$;

2) $f(-1,5)$ и $f(-1,8)$;

3) $f(42)$ и $f(-42)$;

4) $f(-10)$ и $f(6)$.

Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Для анализа преобразуем ее к виду $f(x) = \frac{1}{x^{32}}$.

Рассмотрим свойства этой функции. Во-первых, показатель степени (-32) является четным числом, поэтому функция является четной. Это означает, что $f(-x) = (-x)^{-32} = \frac{1}{(-x)^{32}} = \frac{1}{x^{32}} = f(x)$ для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$). График функции симметричен относительно оси ординат.

Во-вторых, исследуем монотонность. На промежутке $(0, +\infty)$ при увеличении положительного значения $x$, значение $x^{32}$ также увеличивается. Так как мы берем обратную величину, значение функции $f(x) = \frac{1}{x^{32}}$ будет уменьшаться. Следовательно, функция убывает на $(0, +\infty)$. На промежутке $(-\infty, 0)$ при увеличении $x$ (например, от -5 до -2), его модуль $|x|$ уменьшается. Из-за четности функции $f(x)=f(|x|)$, а так как $|x|$ принадлежит $(0, +\infty)$ и функция там убывает, то при уменьшении модуля $|x|$ значение функции будет увеличиваться. Следовательно, функция возрастает на $(-\infty, 0)$.

Основываясь на этих свойствах, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(7,2) и f(6,5);
Аргументы $7,2$ и $6,5$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $7,2 > 6,5$, то для убывающей функции выполняется неравенство $f(7,2) < f(6,5)$.
Ответ: $f(7,2) < f(6,5)$.

2) f(–1,5) и f(–1,8);
Аргументы $-1,5$ и $-1,8$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $-1,8 < -1,5$, то для возрастающей функции выполняется неравенство $f(-1,8) < f(-1,5)$.
Можно также решить, используя четность функции: $f(-1,5) = f(1,5)$ и $f(-1,8) = f(1,8)$. Теперь сравним $f(1,5)$ и $f(1,8)$. Так как $1,5 < 1,8$, а на промежутке $(0, +\infty)$ функция убывает, то $f(1,5) > f(1,8)$. Следовательно, $f(-1,5) > f(-1,8)$.
Ответ: $f(-1,5) > f(-1,8)$.

3) f(42) и f(–42);
Функция $f(x) = x^{-32}$ является четной, так как показатель степени (-32) — четное число. По определению четной функции, $f(x) = f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Следовательно, $f(42) = f(-42)$.
Ответ: $f(42) = f(-42)$.

4) f(–10) и f(6).
Сначала используем свойство четности функции для аргумента $-10$: $f(-10) = f(10)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(10)$ и $f(6)$. Аргументы $10$ и $6$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $10 > 6$, то для убывающей функции выполняется неравенство $f(10) < f(6)$. Следовательно, $f(-10) < f(6)$.
Ответ: $f(-10) < f(6)$.

63. Постройте график функции:

1) $y = (x + 5)^0$;

2) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$;

3) $y = (x^2 - 8x + 12)^0$.

1) $y = (x + 5)^0$

Любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$). Выражение $0^0$ не определено. Следовательно, данная функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени, то есть выражение $(x+5)$, не равно нулю.

Найдем область определения функции (ОДЗ):
$x + 5 \neq 0$
$x \neq -5$

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$. Для всех значений $x$ из области определения значение функции равно 1, то есть $y=1$.

Графиком функции является прямая $y = 1$, из которой исключена ("выколота") точка, в которой функция не определена. Это точка с абсциссой $x = -5$. Координаты выколотой точки: $(-5; 1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотой точкой $(-5; 1)$.

2) $y = (\sqrt{x} - 1)^0$

Функция определена, если выполнены два условия: выражение под корнем неотрицательно, и основание степени не равно нулю.

Найдем область определения функции (ОДЗ):
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 1 \neq 0$.

Решим второе условие:
$\sqrt{x} \neq 1$
Возведя обе части в квадрат, получим: $x \neq 1$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 1$), получаем область определения: $x \in [0; 1) \cup (1; +\infty)$. Для всех $x$ из этой области значение функции равно 1 ($y=1$).

Графиком функции является луч $y = 1$, который начинается в точке $(0; 1)$ (эта точка принадлежит графику, так как $x=0$ входит в ОДЗ) и идет вправо, с выколотой точкой при $x = 1$. Координаты выколотой точки: $(1; 1)$.

Ответ: График функции — это луч $y=1$, начинающийся в точке $(0; 1)$, с выколотой точкой $(1; 1)$.

3) $y = (x^2 - 8x + 12)^0$

Функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени $(x^2 - 8x + 12)$ не равно нулю.

Найдем значения $x$, при которых основание равно нулю, решив квадратное уравнение:
$x^2 - 8x + 12 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, основание степени равно нулю при $x = 2$ и $x = 6$. Эти значения необходимо исключить из области определения. Область определения функции: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$. Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1 ($y=1$).

Графиком функции является прямая $y = 1$, из которой выколоты две точки с абсциссами $x = 2$ и $x = 6$. Координаты выколотых точек: $(2; 1)$ и $(6; 1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками $(2; 1)$ и $(6; 1)$.

64. Постройте график функции:

1) $y = x^{-4} - 3;$

2) $y = (x - 3)^{-4};$

3) $y = \frac{1}{3}x^{-2}.$

1) $y = x^{-4} - 3$

Для построения графика функции $y = x^{-4} - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y = x^{-4}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$.

• Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• При $x > 0$ функция убывает, при $x < 0$ функция возрастает.
• График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось OY) и горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось OX).
• Все значения функции положительны, $y > 0$.
• Контрольные точки: при $x=1$, $y=1$; при $x=-1$, $y=1$; при $x=2$, $y = \frac{1}{16}$; при $x=-2$, $y = \frac{1}{16}$.

2. Чтобы получить график функции $y = x^{-4} - 3$, необходимо сдвинуть график функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

• Все точки графика смещаются на 3 вниз. Например, точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переходят в точки $(1, -2)$ и $(-1, -2)$.
• Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений.
• Горизонтальная асимптота смещается на 3 единицы вниз и становится $y = -3$.
• Область значений функции становится $E(y) = (-3; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = x^{-4} - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вниз. График имеет две ветви, симметричные относительно оси OY, приближающиеся к вертикальной асимптоте $x=0$ и горизонтальной асимптоте $y=-3$.

2) $y = (x - 3)^{-4}$

Для построения графика функции $y = (x - 3)^{-4}$ также используем преобразования.

1. В качестве базовой функции снова берем $y = x^{-4}$ или $y = \frac{1}{x^4}$. Ее свойства описаны в предыдущем пункте.

2. Чтобы получить график функции $y = (x - 3)^{-4}$, необходимо сдвинуть график функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX.

• Все точки графика смещаются на 3 вправо. Например, точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переходят в точки $(1+3, 1) = (4, 1)$ и $(-1+3, 1) = (2, 1)$.
• Вертикальная асимптота смещается на 3 единицы вправо и становится $x = 3$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.
• Область определения функции: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
• График становится симметричным относительно прямой $x=3$.

Ответ: График функции $y = (x - 3)^{-4}$ получается путем сдвига графика функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вправо. График имеет две ветви, симметричные относительно прямой $x=3$, приближающиеся к вертикальной асимптоте $x=3$ и горизонтальной асимптоте $y=0$.

3) $y = \frac{1}{3}x^{-2}$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}x^{-2}$ выполним следующие шаги.

1. Построим график базовой функции $y = x^{-2}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^2}$.

• Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
• Все значения функции положительны, $y > 0$.
• Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, \frac{1}{4})$, $(-2, \frac{1}{4})$.

2. Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{3}x^{-2}$, необходимо выполнить вертикальное сжатие (растяжение с коэффициентом $\frac{1}{3}$) графика функции $y = x^{-2}$ к оси OX. Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ нужно умножить на $\frac{1}{3}$.

• Асимптоты $x=0$ и $y=0$ остаются без изменений.
• Симметрия относительно оси OY сохраняется.
• Контрольные точки преобразуются: $(1, 1)$ переходит в $(1, \frac{1}{3})$; $(-1, 1)$ переходит в $(-1, \frac{1}{3})$; $(2, \frac{1}{4})$ переходит в $(2, \frac{1}{12})$.
• График станет более "прижатым" к оси OX по сравнению с графиком $y = x^{-2}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}x^{-2}$ получается путем вертикального сжатия графика функции $y = x^{-2}$ к оси OX в 3 раза. График имеет две ветви, симметричные относительно оси OY, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

65. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

ции $y = x^{-5}$ на промежутке:

1) $[\frac{1}{3}; 1]$;

2) $[-2; -1]$;

3) $[2; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-5}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Функция также может быть записана в виде $y = \frac{1}{x^5}$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Для определения монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (x^{-5})' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Поскольку $x^6 > 0$ для любого $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{5}{x^6}$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция $y = x^{-5}$ является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

На убывающей функции наибольшее значение на отрезке достигается на его левом конце, а наименьшее — на правом.

1) На промежутке $[\frac{1}{3}; 1]$

Промежуток $[\frac{1}{3}; 1]$ входит в область определения функции. Так как функция на этом промежутке убывает, то:

• наибольшее значение достигается при $x = \frac{1}{3}$: $y_{наиб} = (\frac{1}{3})^{-5} = 3^5 = 243$.
• наименьшее значение достигается при $x = 1$: $y_{наим} = 1^{-5} = 1$.

Ответ: наибольшее значение $243$, наименьшее значение $1$.

2) На промежутке $[-2; -1]$

Промежуток $[-2; -1]$ также входит в область определения функции. Функция на этом промежутке убывает, следовательно:

• наибольшее значение достигается при $x = -2$: $y_{наиб} = (-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$.
• наименьшее значение достигается при $x = -1$: $y_{наим} = (-1)^{-5} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: наибольшее значение $-\frac{1}{32}$, наименьшее значение $-1$.

3) На промежутке $[2; +\infty)$

На этом промежутке функция также убывает. Наибольшее значение достигается в левой точке промежутка, то есть при $x = 2$:

$y_{наиб} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Так как промежуток неограничен справа, наименьшего значения функция не достигает. При $x \to +\infty$ значение функции $y = \frac{1}{x^5}$ стремится к нулю, но никогда его не достигает (оставаясь положительным). Формально, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^5} = 0$. Таким образом, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наибольшее значение $\frac{1}{32}$, наименьшего значения не существует.