Номер 65, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

ции $y = x^{-5}$ на промежутке:

1) $[\frac{1}{3}; 1]$;

2) $[-2; -1]$;

3) $[2; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-5}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Функция также может быть записана в виде $y = \frac{1}{x^5}$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Для определения монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (x^{-5})' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Поскольку $x^6 > 0$ для любого $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{5}{x^6}$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция $y = x^{-5}$ является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

На убывающей функции наибольшее значение на отрезке достигается на его левом конце, а наименьшее — на правом.

1) На промежутке $[\frac{1}{3}; 1]$

Промежуток $[\frac{1}{3}; 1]$ входит в область определения функции. Так как функция на этом промежутке убывает, то:

• наибольшее значение достигается при $x = \frac{1}{3}$: $y_{наиб} = (\frac{1}{3})^{-5} = 3^5 = 243$.
• наименьшее значение достигается при $x = 1$: $y_{наим} = 1^{-5} = 1$.

Ответ: наибольшее значение $243$, наименьшее значение $1$.

2) На промежутке $[-2; -1]$

Промежуток $[-2; -1]$ также входит в область определения функции. Функция на этом промежутке убывает, следовательно:

• наибольшее значение достигается при $x = -2$: $y_{наиб} = (-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$.
• наименьшее значение достигается при $x = -1$: $y_{наим} = (-1)^{-5} = \frac{1}{-1} = -1$.

Ответ: наибольшее значение $-\frac{1}{32}$, наименьшее значение $-1$.

3) На промежутке $[2; +\infty)$

На этом промежутке функция также убывает. Наибольшее значение достигается в левой точке промежутка, то есть при $x = 2$:

$y_{наиб} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Так как промежуток неограничен справа, наименьшего значения функция не достигает. При $x \to +\infty$ значение функции $y = \frac{1}{x^5}$ стремится к нулю, но никогда его не достигает (оставаясь положительным). Формально, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^5} = 0$. Таким образом, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наибольшее значение $\frac{1}{32}$, наименьшего значения не существует.