Номер 68, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-12) < f(-16)$;

2) $f(-12) \le f(16)$;

3) $f(-12) > f(-16)$;

4) $f(16) < f(12)$?

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число, в зависимости от чётности $n$.

Случай 1: $n$ — чётное натуральное число.
В этом случае функция $f(x)$ является чётной, так как $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{x^n} = f(x)$. Значения функции всегда положительны при $x \neq 0$. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция является возрастающей (если $x_1 < x_2 < 0$, то $f(x_1) < f(x_2)$). На промежутке $(0, \infty)$ функция является убывающей (если $0 < x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$).

Случай 2: $n$ — нечётное натуральное число.
В этом случае функция $f(x)$ является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{-x^n} = -f(x)$. При $x < 0$ значения функции отрицательны, а при $x > 0$ — положительны. Функция является убывающей на всей области определения (на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$). То есть, если $x_1$ и $x_2$ находятся в одном промежутке и $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Теперь рассмотрим каждое условие отдельно.

1) f(-12) < f(-16)

Мы сравниваем значения функции в точках $x_1 = -16$ и $x_2 = -12$. Так как $-16 < -12$, мы находимся на промежутке $(-\infty, 0)$.

• Если $n$ — чётное, то функция на этом промежутке возрастает. Следовательно, из $-16 < -12$ должно следовать $f(-16) < f(-12)$. Это противоречит условию $f(-12) < f(-16)$.
• Если $n$ — нечётное, то функция на этом промежутке убывает. Следовательно, из $-16 < -12$ должно следовать $f(-16) > f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) < f(-16)$. Это совпадает с условием.

Таким образом, число $n$ должно быть нечётным.

Ответ: нечётным.

2) f(-12) ≤ f(16)

• Если $n$ — чётное, функция является чётной, поэтому $f(-12) = f(12)$. Условие принимает вид $f(12) \le f(16)$. На промежутке $(0, \infty)$ функция убывает, поэтому из $12 < 16$ следует $f(12) > f(16)$. Это противоречит условию $f(12) \le f(16)$.
• Если $n$ — нечётное, функция является нечётной, поэтому $f(-12) = -f(12)$. Условие принимает вид $-f(12) \le f(16)$. Поскольку для $x > 0$ значения функции положительны, имеем $f(12) > 0$ и $f(16) > 0$. Неравенство $-f(12) \le f(16)$ всегда верно, так как отрицательное число (или ноль) всегда меньше или равно положительному числу.

Таким образом, число $n$ должно быть нечётным.

Ответ: нечётным.

3) f(-12) > f(-16)

Мы снова сравниваем значения функции в точках $x_1 = -16$ и $x_2 = -12$, где $-16 < -12$.

• Если $n$ — чётное, функция на промежутке $(-\infty, 0)$ возрастает. Следовательно, из $-16 < -12$ следует $f(-16) < f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) > f(-16)$. Это совпадает с условием.
• Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке убывает. Следовательно, из $-16 < -12$ следует $f(-16) > f(-12)$. Это противоречит условию $f(-12) > f(-16)$.

Таким образом, число $n$ должно быть чётным.

Ответ: чётным.

4) f(16) < f(12)?

Мы сравниваем значения функции в точках $x_1 = 12$ и $x_2 = 16$. Так как $12 < 16$, мы находимся на промежутке $(0, \infty)$.

• Если $n$ — чётное, функция на этом промежутке убывает. Следовательно, из $12 < 16$ следует $f(12) > f(16)$, что эквивалентно $f(16) < f(12)$. Условие выполняется.
• Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке также убывает. Следовательно, из $12 < 16$ следует $f(12) > f(16)$, что эквивалентно $f(16) < f(12)$. Условие также выполняется.

Неравенство $f(16) < f(12)$ можно записать как $\frac{1}{16^n} < \frac{1}{12^n}$. Это неравенство равносильно $12^n < 16^n$, что верно для любого натурального числа $n$, так как основание показательной функции больше 1, а $12 < 16$. Следовательно, данное условие выполняется при любом натуральном $n$, как чётном, так и нечётном.

Ответ: по данному условию определить чётность $n$ невозможно.