Номер 75, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Сравните:

1) $ \sqrt[4]{5,8} $ и $ \sqrt[4]{4,9} $;

2) $ \sqrt[5]{-42} $ и $ \sqrt[5]{-45} $;

3) $ \sqrt[5]{34} $ и 2;

4) $ \sqrt{6} $ и $ \sqrt[6]{210} $;

5) $ 4\sqrt[3]{2} $ и $ 3\sqrt[3]{5} $.

1) Сравним числа $\sqrt[4]{5,8}$ и $\sqrt[4]{4,9}$.
Функция $y = \sqrt[n]{x}$ для четного $n$ (в данном случае $n=4$) является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для двух положительных чисел, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.
Сравним подкоренные выражения: $5,8 > 4,9$.
Следовательно, $\sqrt[4]{5,8} > \sqrt[4]{4,9}$.
Ответ: $\sqrt[4]{5,8} > \sqrt[4]{4,9}$.

2) Сравним числа $\sqrt[5]{-42}$ и $\sqrt[5]{-45}$.
Функция $y = \sqrt[n]{x}$ для нечетного $n$ (в данном случае $n=5$) является возрастающей для всех действительных чисел. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Сравним подкоренные выражения: $-42 > -45$.
Следовательно, $\sqrt[5]{-42} > \sqrt[5]{-45}$.
Ответ: $\sqrt[5]{-42} > \sqrt[5]{-45}$.

3) Сравним числа $\sqrt[5]{34}$ и $2$.
Для сравнения представим число $2$ в виде корня пятой степени. Для этого возведем $2$ в пятую степень и поместим результат под знак корня пятой степени.
$2 = \sqrt[5]{2^5} = \sqrt[5]{32}$.
Теперь сравним $\sqrt[5]{34}$ и $\sqrt[5]{32}$. Поскольку подкоренное выражение $34$ больше, чем $32$, то и значение корня будет больше.
$34 > 32 \Rightarrow \sqrt[5]{34} > \sqrt[5]{32}$.
Следовательно, $\sqrt[5]{34} > 2$.
Ответ: $\sqrt[5]{34} > 2$.

4) Сравним числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt[6]{210}$.
Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 6 равно 6.
Представим $\sqrt{6}$ (корень 2-й степени) в виде корня 6-й степени. Для этого нужно и показатель корня, и степень подкоренного выражения умножить на 3:
$\sqrt{6} = \sqrt[2]{6^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{6^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{6^3} = \sqrt[6]{216}$.
Теперь сравним $\sqrt[6]{216}$ и $\sqrt[6]{210}$.
Поскольку $216 > 210$, то $\sqrt[6]{216} > \sqrt[6]{210}$.
Следовательно, $\sqrt{6} > \sqrt[6]{210}$.
Ответ: $\sqrt{6} > \sqrt[6]{210}$.

5) Сравним числа $4\sqrt[3]{2}$ и $3\sqrt[3]{5}$.
Для сравнения внесем множители перед корнем под знак корня. Для этого множитель возводится в степень, равную показателю корня.
$4\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = \sqrt[3]{128}$.
$3\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{135}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{128}$ и $\sqrt[3]{135}$.
Поскольку подкоренное выражение $128$ меньше, чем $135$, то и значение корня будет меньше.
$128 < 135 \Rightarrow \sqrt[3]{128} < \sqrt[3]{135}$.
Следовательно, $4\sqrt[3]{2} < 3\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $4\sqrt[3]{2} < 3\sqrt[3]{5}$.