Номер 80, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Решите уравнение:

1) $x^{10} + 31x^5 - 32 = 0;$

2) $x^8 - 14x^4 + 13 = 0;$

3) $x^{12} - 5x^6 - 24 = 0.$

1) $x^{10} + 31x^5 - 32 = 0$

Данное уравнение можно решить методом замены переменной, так как оно является квадратным относительно $x^5$.

Пусть $y = x^5$. Тогда $x^{10} = (x^5)^2 = y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 + 31y - 32 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-31$, а их произведение равно $-32$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-32$.

$y_1 = 1$

$y_2 = -32$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для первого корня $y_1 = 1$:

$x^5 = 1$

$x = \sqrt[5]{1}$

$x = 1$

Для второго корня $y_2 = -32$:

$x^5 = -32$

$x = \sqrt[5]{-32}$

$x = -2$

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-2; 1$.

2) $x^8 - 14x^4 + 13 = 0$

Это уравнение также решается методом замены. Оно является биквадратным уравнением.

Пусть $y = x^4$. Тогда $x^8 = (x^4)^2 = y^2$. Заменим $x^4$ на $y$ в исходном уравнении:

$y^2 - 14y + 13 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $14$, а произведение равно $13$. Корни легко находятся:

$y_1 = 1$

$y_2 = 13$

Теперь вернемся к переменной $x$. Поскольку $y = x^4$, значение $y$ не может быть отрицательным для действительных $x$. Оба найденных корня ($1$ и $13$) положительны, поэтому для каждого из них существуют действительные решения для $x$.

Для первого корня $y_1 = 1$:

$x^4 = 1$

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

$x = \pm 1$

Для второго корня $y_2 = 13$:

$x^4 = 13$

$x = \pm \sqrt[4]{13}$

В итоге получаем четыре действительных корня.

Ответ: $\pm 1; \pm \sqrt[4]{13}$.

3) $x^{12} - 5x^6 - 24 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному, так как оно является квадратным относительно $x^6$.

Выполним замену: пусть $y = x^6$. Тогда $x^{12} = (x^6)^2 = y^2$. Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 - 5y - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь выполним обратную замену для $x$.

Для первого корня $y_1 = 8$:

$x^6 = 8$

$x = \pm \sqrt[6]{8}$

Упростим корень: $\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Следовательно, $x = \pm \sqrt{2}$.

Для второго корня $y_2 = -3$:

$x^6 = -3$

Так как $x$ в четной степени ($6$) не может быть отрицательным числом, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\pm \sqrt{2}$.