Номер 83, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x-1}$;

2) $y = \sqrt[3]{x}-1$;

3) $y = \sqrt[3]{1-x}$;

4) $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1.$

1) $y = \sqrt[3]{x} - 1$

Для построения данного графика необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ представляет собой кривую, проходящую через начало координат и симметричную относительно него. Ключевые точки для построения:

• при $x = -8, y = \sqrt[3]{-8} = -2$
• при $x = -1, y = \sqrt[3]{-1} = -1$
• при $x = 0, y = \sqrt[3]{0} = 0$
• при $x = 1, y = \sqrt[3]{1} = 1$
• при $x = 8, y = \sqrt[3]{8} = 2$

Чтобы получить график функции $y = \sqrt[3]{x} - 1$, нужно сместить график $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 1)$.

Новые ключевые точки:

• $(-8, -2-1) = (-8, -3)$
• $(-1, -1-1) = (-1, -2)$
• $(0, 0-1) = (0, -1)$
• $(1, 1-1) = (1, 0)$
• $(8, 2-1) = (8, 1)$

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x} - 1$ является графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, смещенным на 1 единицу вниз по оси Oy.

2) $y = \sqrt[3]{x-1}$

Для построения этого графика также используется базовый график $y = \sqrt[3]{x}$ с ключевыми точками (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

Чтобы получить график функции $y = \sqrt[3]{x-1}$, нужно сместить график $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0 + 1, y_0)$.

Новые ключевые точки:

• $(-8+1, -2) = (-7, -2)$
• $(-1+1, -1) = (0, -1)$
• $(0+1, 0) = (1, 0)$
• $(1+1, 1) = (2, 1)$
• $(8+1, 2) = (9, 2)$

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x-1}$ является графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, смещенным на 1 единицу вправо по оси Ox.

3) $y = \sqrt[3]{1-x}$

Этот график строится с помощью нескольких преобразований графика $y = \sqrt[3]{x}$. Запишем функцию в виде $y = \sqrt[3]{-(x-1)}$.

Последовательность преобразований:

1. Строим график $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Строим график $y = \sqrt[3]{-x}$. Для этого отражаем график $y = \sqrt[3]{x}$ симметрично относительно оси Oy. Ключевые точки станут: (8, -2), (1, -1), (0, 0), (-1, 1), (-8, 2).
3. Строим график $y = \sqrt[3]{-(x-1)}$. Для этого сдвигаем график $y = \sqrt[3]{-x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Ключевые точки итогового графика:

• $(8+1, -2) = (9, -2)$
• $(1+1, -1) = (2, -1)$
• $(0+1, 0) = (1, 0)$
• $(-1+1, 1) = (0, 1)$
• $(-8+1, 2) = (-7, 2)$

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{1-x}$ является графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, который сначала симметрично отражен относительно оси Oy, а затем смещен на 1 единицу вправо по оси Ox.

4) $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1$

Построение этого графика требует нескольких шагов, начиная с $y = \sqrt[3]{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Строим график $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Строим график $y = \sqrt[3]{|x|}$. Для $x \ge 0$ график совпадает с $y = \sqrt[3]{x}$. Для $x < 0$ график является симметричным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси Oy. График становится четной функцией. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (8, 2), (-8, 2).
3. Строим график $y = -\sqrt[3]{|x|}$. Для этого отражаем предыдущий график симметрично относительно оси Ox. Ключевые точки: (0, 0), (1, -1), (-1, -1), (8, -2), (-8, -2).
4. Строим итоговый график $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1$. Для этого сдвигаем предыдущий график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Ключевые точки итогового графика:

• $(-8, -2+1) = (-8, -1)$
• $(-1, -1+1) = (-1, 0)$
• $(0, 0+1) = (0, 1)$
• $(1, -1+1) = (1, 0)$
• $(8, -2+1) = (8, -1)$

Ответ: График функции $y = -\sqrt[3]{|x|} + 1$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем следующих преобразований: часть графика для $x \ge 0$ отражается симметрично относительно оси Oy для получения графика $y = \sqrt[3]{|x|}$; затем полученный график отражается симметрично относительно оси Ox; и, наконец, сдвигается на 1 единицу вверх по оси Oy.