Номер 89, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}}$;

3) $\sqrt[24]{a^{32}}$;

4) $\sqrt[10]{m^5 n^{15}}$;

5) $\frac{\sqrt[6]{a^7 b^{11}}}{\sqrt[6]{a^4 b^2}}$.

1) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$

Для упрощения выражения, в котором один корень находится под знаком другого, используется свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \cdot m]{x}$. Квадратный корень является корнем с показателем 2, поэтому $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$.

Применим свойство к нашему выражению:

$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[3 \cdot 2]{a} = \sqrt[6]{a}$.

Также можно решить задачу, используя степени с рациональным показателем. Свойство: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt[3]{a^{\frac{1}{2}}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{a}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a}$.

2) $\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}}$

Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \cdot m]{x}$.

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[5 \cdot 4]{m} = \sqrt[20]{m}$.

Через степени с рациональным показателем:

$\sqrt[5]{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[5]{m^{\frac{1}{4}}} = (m^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{20}} = \sqrt[20]{m}$.

Ответ: $\sqrt[20]{m}$.

3) $\sqrt[24]{a^{32}}$

Для упрощения корня можно разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Свойство: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Находим наибольший общий делитель (НОД) для показателей 24 и 32. НОД(24, 32) = 8.

Делим оба показателя на 8:

$\sqrt[24]{a^{32}} = \sqrt[24:8]{a^{32:8}} = \sqrt[3]{a^4}$.

Далее можно вынести множитель из-под знака корня, представив $a^4$ как $a^3 \cdot a$:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = a\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

4) $\sqrt[10]{m^5 n^{15}}$

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$, а затем свойством упрощения корня.

$\sqrt[10]{m^5 n^{15}} = \sqrt[10]{m^5} \cdot \sqrt[10]{n^{15}}$.

Упростим каждый множитель. Для $\sqrt[10]{m^5}$ НОД(10, 5) = 5:

$\sqrt[10]{m^5} = \sqrt[10:5]{m^{5:5}} = \sqrt[2]{m^1} = \sqrt{m}$.

Для $\sqrt[10]{n^{15}}$ НОД(10, 15) = 5:

$\sqrt[10]{n^{15}} = \sqrt[10:5]{n^{15:5}} = \sqrt[2]{n^3} = \sqrt{n^3}$.

Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{n^3}$:

$\sqrt{n^3} = \sqrt{n^2 \cdot n} = n\sqrt{n}$.

Объединим полученные результаты:

$\sqrt{m} \cdot n\sqrt{n} = n\sqrt{mn}$.

Ответ: $n\sqrt{mn}$.

5) $\frac{\sqrt[6]{a^7b^{11}}}{\sqrt[6]{a^4b^2}}$

Используем свойство частного корней с одинаковыми показателями: $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$.

$\frac{\sqrt[6]{a^7b^{11}}}{\sqrt[6]{a^4b^2}} = \sqrt[6]{\frac{a^7b^{11}}{a^4b^2}}$.

Упростим дробь под корнем, используя свойство частного степеней $\frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}$:

$\frac{a^7b^{11}}{a^4b^2} = a^{7-4}b^{11-2} = a^3b^9$.

Получаем выражение: $\sqrt[6]{a^3b^9}$.

Теперь упростим этот корень, как в предыдущем примере:

$\sqrt[6]{a^3b^9} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b^9}$.

Для $\sqrt[6]{a^3}$ НОД(6, 3) = 3: $\sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6:3]{a^{3:3}} = \sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$.

Для $\sqrt[6]{b^9}$ НОД(6, 9) = 3: $\sqrt[6]{b^9} = \sqrt[6:3]{b^{9:3}} = \sqrt[2]{b^3} = \sqrt{b^3}$.

Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$.

Перемножим упрощенные части:

$\sqrt{a} \cdot b\sqrt{b} = b\sqrt{ab}$.

Ответ: $b\sqrt{ab}$.