Номер 66, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = -x^5, \\ y = 3 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^{-4}, \\ y = \sqrt{x - 3}. \end{cases}$

1)

Чтобы определить графически количество решений системы уравнений, нужно построить графики функций $y = -x^{-5}$ и $y = 3 - x$ в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Функция $y = -x^{-5}$, или $y = - \frac{1}{x^5}$.

• Область определения: $x \neq 0$.
• График состоит из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.
• Оси координат являются асимптотами: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.
• Функция является строго возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Функция $y = 3 - x$.

• Графиком является прямая линия.
• Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=3$; если $y=0$, то $x=3$. Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
• Функция является строго убывающей на всей числовой прямой.

Теперь проанализируем пересечение графиков.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y = -1/x^5$ возрастает (ее значения изменяются от $0$ до $+\infty$), а функция $y = 3 - x$ убывает (значения от $+\infty$ до $3$). Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. Так как при $x \to -\infty$ значения прямой больше значений кривой ($y_{прямая} \to +\infty$, а $y_{кривая} \to 0$), а при $x \to 0^-$ значения кривой больше значений прямой ($y_{кривая} \to +\infty$, а $y_{прямая} \to 3$), то графики обязательно пересекутся в одной точке на этом промежутке.

На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y = -1/x^5$ возрастает (значения от $-\infty$ до $0$), а функция $y = 3 - x$ убывает (значения от $3$ до $-\infty$). По аналогичной причине, здесь также будет ровно одна точка пересечения. При $x \to 0^+$ прямая находится выше кривой ($y_{прямая} \to 3$, а $y_{кривая} \to -\infty$), а при $x \to +\infty$ кривая оказывается выше прямой ($y_{кривая} \to 0$, а $y_{прямая} \to -\infty$).

Следовательно, всего существует две точки пересечения графиков.

Ответ: 2.

2)

Определим количество решений системы, построив графики функций $y = x^{-4}$ и $y = \sqrt{x-3}$ и найдя количество точек их пересечения.

Функция $y = x^{-4}$, или $y = \frac{1}{x^4}$.

• Область определения: $x \neq 0$.
• Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y > 0$. График расположен в первой и второй координатных четвертях.
• Функция четная, ее график симметричен относительно оси OY.
• Асимптоты: $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

Функция $y = \sqrt{x-3}$.

• Область определения: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
• Графиком является верхняя ветвь параболы, смещенная на 3 единицы вправо. Он начинается в точке $(3, 0)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.

Поскольку область определения второй функции $x \ge 3$, решения системы могут существовать только на этом промежутке.

На промежутке $[3, +\infty)$ функция $y = 1/x^4$ является убывающей, а функция $y = \sqrt{x-3}$ — возрастающей. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза.

Чтобы определить, существует ли точка пересечения, сравним значения функций в некоторых точках.

• При $x=3$: $y = 1/3^4 = 1/81$, а $y = \sqrt{3-3} = 0$. Здесь график $y=1/x^4$ находится выше.
• При $x=4$: $y = 1/4^4 = 1/256$, а $y = \sqrt{4-3} = 1$. Здесь график $y=\sqrt{x-3}$ находится выше.

Поскольку на отрезке $[3, 4]$ графики непрерывных функций поменялись относительным положением (сначала один был выше, потом стал ниже), они должны пересечься. Так как такое пересечение может быть только одно, система имеет ровно одно решение.

Ответ: 1.