Номер 61, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Дана функция $f(x) = x^{-17}$. Сравните:

1) $f(5)$ и $f(-12)$;

2) $f(1,9)$ и $f(2,4)$;

3) $f(-50)$ и $f(-30)$.

Дана функция $f(x) = x^{-17}$. Эту функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{17}}$.

Для того чтобы сравнить значения функции, исследуем ее свойства:

• Область определения: Функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. То есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: Проверим значение функции для $-x$:
  $f(-x) = (-x)^{-17} = \frac{1}{(-x)^{17}} = \frac{1}{-x^{17}} = - \frac{1}{x^{17}} = -f(x)$.
  Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Это означает, что для $x > 0$, $f(x)$ и $f(-x)$ имеют противоположные знаки.
• Монотонность: Найдем производную функции, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.
  $f'(x) = (x^{-17})' = -17 \cdot x^{-17-1} = -17x^{-18} = -\frac{17}{x^{18}}$.
  Поскольку $x^{18}$ (как любая четная степень) всегда положительно при $x \neq 0$, то производная $f'(x) = -\frac{17}{x^{18}}$ всегда отрицательна для любого $x$ из области определения. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
  Это означает, что если $x_1 < x_2$ (и оба значения принадлежат одному и тому же промежутку), то $f(x_1) > f(x_2)$.

Теперь сравним заданные значения функции.

1) f(5) и f(-12)

Аргументы 5 и -12 принадлежат разным промежуткам непрерывности. Поэтому мы не можем напрямую применить свойство монотонности. Вместо этого определим знаки значений функции.
$f(5) = 5^{-17} = \frac{1}{5^{17}}$. Это число положительное, так как $5^{17} > 0$.
$f(-12) = (-12)^{-17} = \frac{1}{(-12)^{17}}$. Так как 17 — нечетное число, $(-12)^{17}$ будет отрицательным. Следовательно, $f(-12) = -\frac{1}{12^{17}}$ — число отрицательное.
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $f(5) > f(-12)$.

Ответ: $f(5) > f(-12)$.

2) f(1,9) и f(2,4)

Аргументы 1,9 и 2,4 оба принадлежат промежутку $(0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает.
Сравним аргументы: $1,9 < 2,4$.
Поскольку функция убывающая, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $f(1,9) > f(2,4)$.

Ответ: $f(1,9) > f(2,4)$.

3) f(-50) и f(-30)

Аргументы -50 и -30 оба принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. На этом промежутке функция $f(x)$ также убывает.
Сравним аргументы: $-50 < -30$.
Так как функция убывающая на этом промежутке, большему значению аргумента (-30) соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-50) > f(-30)$.

Ответ: $f(-50) > f(-30)$.