Номер 57, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Сколько корней в зависимости от значения $a$ имеет уравнение:

1) $x^{16} = a-7$;

2) $x^{10} = a^2+9a-10?$

1) $x^{16} = a - 7$

Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = C$, где $2n=16$ — четная степень, а $C = a-7$. Количество действительных корней такого уравнения зависит от знака выражения в правой части.

Рассмотрим три случая:

1. Если правая часть положительна: $a - 7 > 0$, то есть $a > 7$. В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt[16]{a-7}$ и $x_2 = -\sqrt[16]{a-7}$.

2. Если правая часть равна нулю: $a - 7 = 0$, то есть $a = 7$. Уравнение принимает вид $x^{16} = 0$ и имеет один действительный корень: $x = 0$.

3. Если правая часть отрицательна: $a - 7 < 0$, то есть $a < 7$. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень любого действительного числа не может быть отрицательной ($x^{16} \ge 0$).

Ответ: если $a > 7$, то 2 корня; если $a = 7$, то 1 корень; если $a < 7$, то корней нет.

2) $x^{10} = a^2 + 9a - 10$

Поскольку $x$ возводится в четную степень ($10$), количество действительных корней уравнения зависит от знака выражения в правой части: $a^2 + 9a - 10$.

Исследуем знак квадратного трехчлена $f(a) = a^2 + 9a - 10$. Для этого найдем его корни, решив уравнение $a^2 + 9a - 10 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно $-10$. Корнями являются $a_1 = -10$ и $a_2 = 1$.

Графиком функции $y = a^2 + 9a - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Рассмотрим три случая:

1. Если правая часть положительна: $a^2 + 9a - 10 > 0$. Это неравенство выполняется, когда $a$ находится вне интервала между корнями, то есть при $a \in (-\infty, -10) \cup (1, \infty)$. В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \pm\sqrt[10]{a^2 + 9a - 10}$.

2. Если правая часть равна нулю: $a^2 + 9a - 10 = 0$. Это происходит при $a = -10$ или $a = 1$. Уравнение принимает вид $x^{10} = 0$ и имеет один действительный корень: $x = 0$.

3. Если правая часть отрицательна: $a^2 + 9a - 10 < 0$. Это неравенство выполняется, когда $a$ находится между корнями, то есть при $a \in (-10, 1)$. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, так как $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$.

Ответ: если $a < -10$ или $a > 1$, то 2 корня; если $a = -10$ или $a = 1$, то 1 корень; если $-10 < a < 1$, то корней нет.