Номер 55, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Определите графически количество корней уравнения:

1) $-x^8 = x - 4;$

2) $x^5 = 2x - 5.$

1) $-x^8 = x - 4$

Для графического решения этого уравнения представим его в виде двух функций и найдем количество точек их пересечения.
Пусть $y_1 = -x^8$ и $y_2 = x - 4$.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = -x^8$. Это степенная функция с четным показателем 8. Её график симметричен относительно оси OY, проходит через начало координат (0, 0) и расположен в III и IV координатных четвертях (так как $y \le 0$ для всех $x$). Вершина графика находится в точке (0, 0). График похож на параболу, ветви которой направлены вниз, но растет (по модулю) гораздо быстрее.

2. Рассмотрим функцию $y_2 = x - 4$. Это линейная функция, её график — прямая. Прямая имеет угловой коэффициент $k=1$ и пересекает ось OY в точке (0, -4).

3. Теперь мысленно или на эскизе построим оба графика в одной системе координат.

• Вершина графика $y_1 = -x^8$ находится в точке (0, 0).
• Прямая $y_2 = x - 4$ проходит через точку (0, -4), то есть ниже вершины первого графика.
• При $x > 0$ (справа от оси OY), график $y_1 = -x^8$ убывает (ветвь идет вниз), а график $y_2 = x - 4$ возрастает (прямая идет вверх). Так как в точке $x=0$ кривая выше прямой ($0 > -4$), а при увеличении $x$ кривая уходит в $-\infty$, а прямая в $+\infty$, графики обязательно пересекутся один раз в I или IV четверти.
• При $x < 0$ (слева от оси OY), график $y_1 = -x^8$ также убывает (ветвь идет вниз, если двигаться от 0 влево), а график $y_2 = x - 4$ возрастает. Проверим значения функций в некоторых точках: при $x = -1$, $y_1 = -(-1)^8 = -1$, а $y_2 = -1 - 4 = -5$. Здесь кривая выше прямой. При $x = -2$, $y_1 = -(-2)^8 = -256$, а $y_2 = -2 - 4 = -6$. Здесь прямая выше кривой. Так как обе функции непрерывны, между $x=-2$ и $x=-1$ должно быть одно пересечение.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) $x^5 = 2x - 5$

Аналогично первому пункту, представим уравнение в виде двух функций и найдем количество точек их пересечения.
Пусть $y_1 = x^5$ и $y_2 = 2x - 5$.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = x^5$. Это степенная функция с нечетным показателем 5. Её график симметричен относительно начала координат, проходит через точку (0, 0) и расположен в I и III координатных четвертях. Функция является возрастающей на всей числовой оси.

2. Рассмотрим функцию $y_2 = 2x - 5$. Это линейная функция, её график — прямая с угловым коэффициентом $k=2$. Прямая пересекает ось OY в точке (0, -5).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

• График $y_1 = x^5$ проходит через (0, 0).
• Прямая $y_2 = 2x - 5$ проходит через (0, -5).
• При $x < 0$, оба графика находятся в III четверти. Проверим значения: при $x = -1$, $y_1 = (-1)^5 = -1$, а $y_2 = 2(-1) - 5 = -7$. График $y_1$ выше. При $x = -2$, $y_1 = (-2)^5 = -32$, а $y_2 = 2(-2) - 5 = -9$. Теперь график $y_1$ ниже. Следовательно, в интервале от -2 до -1 есть одна точка пересечения. Поскольку при $x \to -\infty$ кривая $y_1=x^5$ убывает быстрее, чем прямая $y_2=2x-5$, другого пересечения при $x<0$ не будет.
• При $x \ge 0$, график $y_1 = x^5$ начинается в точке (0, 0) и возрастает, а прямая $y_2 = 2x - 5$ начинается в точке (0, -5) и также возрастает. В точке $x=0$ кривая уже находится выше прямой ($0 > -5$). Скорость роста функции $y_1 = x^5$ (её производная $5x^4$) при $x>1$ значительно больше скорости роста прямой (производная равна 2). Это означает, что кривая будет "убегать" от прямой вверх, и они больше никогда не пересекутся при $x \ge 0$.

Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения.

Ответ: 1 корень.