Страница 13 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Через какие из данных точек проходит график функции $y = x^5$:

1) A (-2; -32);

2) B (-1; 1);

3) C ($\frac{1}{3}; \frac{1}{243}$);

4) D (0,1; -0,00001)?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^5$ через заданную точку с координатами $(x_0, y_0)$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если равенство $y_0 = x_0^5$ окажется верным, то точка принадлежит графику.

1) A (-2; -32);

Подставляем координаты точки A в уравнение функции, где $x = -2$ и $y = -32$.

Вычисляем значение функции при $x = -2$:

$y = (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Сравниваем полученный результат с y-координатой точки A: $-32 = -32$.

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: проходит.

2) B (-1; 1);

Подставляем координаты точки B в уравнение функции, где $x = -1$ и $y = 1$.

Вычисляем значение функции при $x = -1$:

$y = (-1)^5 = -1$.

Сравниваем полученный результат с y-координатой точки B: $1 = -1$.

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку B.

Ответ: не проходит.

3) C ($\frac{1}{3}$; $\frac{1}{243}$);

Подставляем координаты точки C в уравнение функции, где $x = \frac{1}{3}$ и $y = \frac{1}{243}$.

Вычисляем значение функции при $x = \frac{1}{3}$:

$y = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{243}$.

Сравниваем полученный результат с y-координатой точки C: $\frac{1}{243} = \frac{1}{243}$.

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку C.

Ответ: проходит.

4) D (0,1; -0,00001)?

Подставляем координаты точки D в уравнение функции, где $x = 0,1$ и $y = -0,00001$.

Вычисляем значение функции при $x = 0,1$:

$y = (0,1)^5 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,00001$.

Сравниваем полученный результат с y-координатой точки D: $-0,00001 = 0,00001$.

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку D.

Ответ: не проходит.

48. Функция задана формулой $f(x) = x^8$. Сравните:

1) $f(2,4)$ и $f(3,8)$;

2) $f(-8,7)$ и $f(-10,3)$;

3) $f(-9,6)$ и $f(9,6)$;

4) $f(-0,8)$ и $f(0,4)$.

Функция $f(x) = x^8$ является степенной функцией с четным показателем степени $n=8$. Для сравнения значений функции воспользуемся ее свойствами:

• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^8 = x^8 = f(x)$. Это означает, что значения функции для противоположных аргументов равны.
• Монотонность:
  • На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.
  • На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

1) Сравним $f(2,4)$ и $f(3,8)$.
Аргументы $x_1 = 2,4$ и $x_2 = 3,8$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция $f(x)=x^8$ возрастает. Поскольку $2,4 < 3,8$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $f(2,4) < f(3,8)$.
Ответ: $f(2,4) < f(3,8)$.

2) Сравним $f(-8,7)$ и $f(-10,3)$.
Аргументы $x_1 = -10,3$ и $x_2 = -8,7$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0]$, на котором функция $f(x)=x^8$ убывает. Поскольку $-10,3 < -8,7$, то значения функции будут находиться в обратном соотношении: $f(-10,3) > f(-8,7)$.
Ответ: $f(-8,7) < f(-10,3)$.

3) Сравним $f(-9,6)$ и $f(9,6)$.
Функция $f(x) = x^8$ является четной, поэтому для любого значения $a$ выполняется $f(-a) = f(a)$. В данном случае $a = 9,6$, следовательно, $f(-9,6) = f(9,6)$.
Ответ: $f(-9,6) = f(9,6)$.

4) Сравним $f(-0,8)$ и $f(0,4)$.
Воспользуемся свойством четности функции $f(x) = x^8$: $f(-0,8) = f(0,8)$.
Теперь задача сводится к сравнению $f(0,8)$ и $f(0,4)$. Оба аргумента, $0,8$ и $0,4$, принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция возрастает. Так как $0,4 < 0,8$, то $f(0,4) < f(0,8)$.
Заменив $f(0,8)$ обратно на $f(-0,8)$, получаем $f(0,4) < f(-0,8)$.
Ответ: $f(-0,8) > f(0,4)$.

49. Функция задана формулой $\varphi(x) = x^{17}$. Сравните:

1) $\varphi(9,4)$ и $\varphi(7,8)$;

2) $\varphi(-4,7)$ и $\varphi(-4,2)$;

3) $\varphi(-3,6)$ и $\varphi(3,6)$.

Функция задана формулой $ \varphi(x) = x^{17} $. Это степенная функция с нечетным натуральным показателем степени $ n=17 $. Такая функция обладает следующими свойствами:

• Она является строго возрастающей на всей числовой оси. Это значит, что если $ x_1 < x_2 $, то $ \varphi(x_1) < \varphi(x_2) $.
• Она является нечетной, то есть $ \varphi(-x) = -\varphi(x) $ для любого $ x $.

Используем эти свойства для сравнения значений функции.

1) φ(9,4) и φ(7,8);
Сравним аргументы функции: $ 9,4 $ и $ 7,8 $.
Так как $ 9,4 > 7,8 $ и функция $ \varphi(x) = x^{17} $ является строго возрастающей, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Следовательно, $ \varphi(9,4) > \varphi(7,8) $.
Ответ: $ \varphi(9,4) > \varphi(7,8) $.

2) φ(–4,7) и φ(–4,2);
Сравним аргументы функции: $ –4,7 $ и $ –4,2 $.
Так как $ –4,7 < –4,2 $ и функция $ \varphi(x) = x^{17} $ является строго возрастающей, то меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $ \varphi(–4,7) < \varphi(–4,2) $.
Ответ: $ \varphi(–4,7) < \varphi(–4,2) $.

3) φ(–3,6) и φ(3,6).
Сравним аргументы функции: $ –3,6 $ и $ 3,6 $.
Так как $ –3,6 < 3,6 $ и функция $ \varphi(x) = x^{17} $ является строго возрастающей, то $ \varphi(–3,6) < \varphi(3,6) $.
Также можно использовать свойство нечетности функции. $ \varphi(3,6) = (3,6)^{17} $ — это положительное число. $ \varphi(–3,6) = (–3,6)^{17} = -(3,6)^{17} $ — это отрицательное число. Любое отрицательное число меньше любого положительного.
Следовательно, $ \varphi(–3,6) < \varphi(3,6) $.
Ответ: $ \varphi(–3,6) < \varphi(3,6) $.

50. Решите уравнение:

1) $x^7 = 128;$

2) $x^3 = -125;$

3) $x^4 = 625;$

4) $x^4 = -16.$

1) $x^7 = 128$

Для решения уравнения извлечем корень 7-й степени из обеих его частей. Так как показатель степени нечетный, корень будет один.

$x = \sqrt[7]{128}$

Подберем основание. Мы знаем, что $2^7 = 128$.

Следовательно, $x = 2$.

Ответ: $2$.

2) $x^3 = -125$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Для нечетной степени корень из отрицательного числа существует и является отрицательным.

$x = \sqrt[3]{-125}$

Так как $5^3 = 125$, то $(-5)^3 = -125$.

Таким образом, $x = -5$.

Ответ: $-5$.

3) $x^4 = 625$

Показатель степени в левой части уравнения — четное число ($4$), а правая часть — положительное число ($625$). Это означает, что уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.

Извлечем корень 4-й степени из обеих частей:

$x = \pm\sqrt[4]{625}$

Поскольку $5^4 = 625$, получаем два корня:

$x = \pm5$.

Ответ: $\pm5$.

4) $x^4 = -16$

В левой части уравнения стоит переменная в четной степени ($4$). Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $x^4 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-16$).

Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.

51. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

1) $y = x^{10}$ и $y = 49x^8$;

2) $y = x^7$ и $y = -125x^4$.

1) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = x^{10}$ и $y = 49x^8$, необходимо приравнять их правые части:
$x^{10} = 49x^8$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^{10} - 49x^8 = 0$
Вынесем общий множитель $x^8$ за скобки:
$x^8(x^2 - 49) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
1) $x^8 = 0$, что дает корень $x_1 = 0$.
2) $x^2 - 49 = 0$, что можно переписать как $x^2 = 49$. Это уравнение имеет два корня: $x_2 = 7$ и $x_3 = -7$.
Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках с абсциссами -7, 0 и 7.
Ответ: -7; 0; 7.

2) Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций $y = x^7$ и $y = -125x^4$, приравняем их правые части:
$x^7 = -125x^4$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^7 + 125x^4 = 0$
Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:
$x^4(x^3 + 125) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x^4 = 0$, откуда $x_1 = 0$.
2) $x^3 + 125 = 0$, что можно переписать как $x^3 = -125$. Извлекая кубический корень, получаем $x_2 = \sqrt[3]{-125} = -5$.
Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках с абсциссами -5 и 0.
Ответ: -5; 0.

52. Постройте график функции:

1) $y = x^3 + 2;$

2) $y = (x+2)^3;$

3) $y = x^4 - 2;$

4) $y = -\frac{1}{2}x^4.$

График функции $y = x^3 + 2$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола) путем его сдвига (параллельного переноса) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:

• При $x = -2$, $y = (-2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6$. Точка (-2; -6).
• При $x = -1$, $y = (-1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка (-1; 1).
• При $x = 0$, $y = 0^3 + 2 = 2$. Точка (0; 2). Это точка перегиба, смещенная из начала координат.
• При $x = 1$, $y = 1^3 + 2 = 3$. Точка (1; 3).
• При $x = 2$, $y = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Точка (2; 10).

Соединив точки плавной линией, получаем график функции. Это кубическая парабола, симметричная относительно точки (0; 2) и проходящая через найденные точки.

Ответ: График функции $y = x^3 + 2$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы вверх по оси Oy.

График функции $y = (x + 2)^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем его сдвига на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Найдем координаты нескольких точек для построения:

• При $x = -4$, $y = (-4 + 2)^3 = (-2)^3 = -8$. Точка (-4; -8).
• При $x = -3$, $y = (-3 + 2)^3 = (-1)^3 = -1$. Точка (-3; -1).
• При $x = -2$, $y = (-2 + 2)^3 = 0^3 = 0$. Точка (-2; 0). Это точка перегиба и корень функции.
• При $x = -1$, $y = (-1 + 2)^3 = 1^3 = 1$. Точка (-1; 1).
• При $x = 0$, $y = (0 + 2)^3 = 2^3 = 8$. Точка (0; 8).

Соединяем точки плавной кривой. График представляет собой кубическую параболу, симметричную относительно точки (-2; 0).

Ответ: График функции $y = (x + 2)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы влево по оси Ox.

График функции $y = x^4 - 2$ можно построить, взяв за основу график функции $y = x^4$. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy. Для получения искомого графика нужно сдвинуть график $y = x^4$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Вычислим значения функции для нескольких точек:

• При $x = -2$, $y = (-2)^4 - 2 = 16 - 2 = 14$. Точка (-2; 14).
• При $x = -1$, $y = (-1)^4 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (-1; -1).
• При $x = 0$, $y = 0^4 - 2 = -2$. Точка (0; -2). Это вершина графика.
• При $x = 1$, $y = 1^4 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (1; -1).
• При $x = 2$, $y = 2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$. Точка (2; 14).

График — это кривая, похожая на параболу, но более "плоская" у вершины и круче идущая вверх. Вершина находится в точке (0; -2).

Ответ: График функции $y = x^4 - 2$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 2 единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^4$ используем график базовой функции $y = x^4$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Отражение графика $y = x^4$ симметрично относительно оси Ox. Получаем график $y = -x^4$.
2. Сжатие полученного графика к оси Ox в 2 раза (или растяжение от оси Ox с коэффициентом $\frac{1}{2}$).

Ветви итогового графика будут направлены вниз.

Найдем координаты точек для построения:

• При $x = -2$, $y = -\frac{1}{2}(-2)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 16 = -8$. Точка (-2; -8).
• При $x = -1$, $y = -\frac{1}{2}(-1)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$. Точка (-1; -0.5).
• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^4 = 0$. Точка (0; 0). Это вершина графика.
• При $x = 1$, $y = -\frac{1}{2}(1)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$. Точка (1; -0.5).
• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2}(2)^4 = -\frac{1}{2} \cdot 16 = -8$. Точка (2; -8).

График симметричен относительно оси Oy, вершина находится в начале координат (0; 0), ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^4$ — это график функции $y = x^4$, отраженный относительно оси Ox и сжатый к оси Ox в 2 раза.

53. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^8$ на промежутке:

1) [-2; 0];

2) [1; 2];

3) [-2; 2];

4) $(-\infty; -1].$

1) [-2; 0]
Для функции $y=x^8$ на промежутке $(-\infty; 0]$ характерно убывание. Следовательно, на отрезке $[-2; 0]$, который является частью этого промежутка, наибольшее значение будет достигаться на левом конце, а наименьшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^8 = 256$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^8 = 0$.
Ответ: наибольшее значение равно 256, наименьшее значение равно 0.

2) [1; 2]
На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=x^8$ возрастает. Отрезок $[1; 2]$ принадлежит этому промежутку, поэтому наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^8 = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^8 = 256$.
Ответ: наибольшее значение равно 256, наименьшее значение равно 1.

3) [-2; 2]
На отрезке $[-2; 2]$ функция $y=x^8$ сначала убывает (на $[-2; 0]$), а затем возрастает (на $[0; 2]$). Точка $x=0$ является точкой глобального минимума для данной функции.
Наименьшее значение достигается в точке минимума:
$y_{наим} = y(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в этих точках:
$y(-2) = (-2)^8 = 256$.
$y(2) = 2^8 = 256$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно 256.
Ответ: наибольшее значение равно 256, наименьшее значение равно 0.

4) $(-\infty; -1]$
На промежутке $(-\infty; -1]$ функция $y=x^8$ является убывающей. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) > y(x_2)$.
Из-за убывания, наименьшее значение на промежутке $(-\infty; -1]$ достигается в его самой правой точке, то есть при $x=-1$.
$y_{наим} = y(-1) = (-1)^8 = 1$.
Так как при $x \to -\infty$ значение функции $y = x^8 \to +\infty$, функция не ограничена сверху на данном промежутке, и, следовательно, наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

54. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^9$ на промежутке:

1) $[-2; 2];$

2) $[2; +\infty)$.

1)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^9$ на промежутке $[-2; 2]$ проанализируем её свойства. Функция $y = x^9$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем степени. Такие функции монотонно возрастают на всей своей области определения, то есть на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

Следовательно, на отрезке $[-2; 2]$ функция $y = x^9$ также является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значение функции на концах промежутка:

• Наименьшее значение (при $x = -2$):
  $y_{наим} = (-2)^9 = -512$
• Наибольшее значение (при $x = 2$):
  $y_{наиб} = 2^9 = 512$

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке $[-2; 2]$ равно -512, а наибольшее значение равно 512.

2)

Рассмотрим функцию $y = x^9$ на промежутке $[2; +\infty)$.

Как было установлено ранее, функция $y = x^9$ является возрастающей. На промежутке, который начинается в точке и уходит в бесконечность, наименьшее значение будет достигаться в начальной точке этого промежутка, то есть при $x=2$.

Вычислим наименьшее значение:

$y_{наим} = y(2) = 2^9 = 512$.

Поскольку промежуток $[2; +\infty)$ не ограничен справа, то есть $x$ может принимать сколь угодно большие значения, значение функции $y = x^9$ также будет неограниченно расти. Таким образом, наибольшего значения на данном промежутке функция не достигает.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке $[2; +\infty)$ равно 512, а наибольшего значения не существует.

55. Определите графически количество корней уравнения:

1) $-x^8 = x - 4;$

2) $x^5 = 2x - 5.$

1) $-x^8 = x - 4$

Для графического решения этого уравнения представим его в виде двух функций и найдем количество точек их пересечения.
Пусть $y_1 = -x^8$ и $y_2 = x - 4$.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = -x^8$. Это степенная функция с четным показателем 8. Её график симметричен относительно оси OY, проходит через начало координат (0, 0) и расположен в III и IV координатных четвертях (так как $y \le 0$ для всех $x$). Вершина графика находится в точке (0, 0). График похож на параболу, ветви которой направлены вниз, но растет (по модулю) гораздо быстрее.

2. Рассмотрим функцию $y_2 = x - 4$. Это линейная функция, её график — прямая. Прямая имеет угловой коэффициент $k=1$ и пересекает ось OY в точке (0, -4).

3. Теперь мысленно или на эскизе построим оба графика в одной системе координат.

• Вершина графика $y_1 = -x^8$ находится в точке (0, 0).
• Прямая $y_2 = x - 4$ проходит через точку (0, -4), то есть ниже вершины первого графика.
• При $x > 0$ (справа от оси OY), график $y_1 = -x^8$ убывает (ветвь идет вниз), а график $y_2 = x - 4$ возрастает (прямая идет вверх). Так как в точке $x=0$ кривая выше прямой ($0 > -4$), а при увеличении $x$ кривая уходит в $-\infty$, а прямая в $+\infty$, графики обязательно пересекутся один раз в I или IV четверти.
• При $x < 0$ (слева от оси OY), график $y_1 = -x^8$ также убывает (ветвь идет вниз, если двигаться от 0 влево), а график $y_2 = x - 4$ возрастает. Проверим значения функций в некоторых точках: при $x = -1$, $y_1 = -(-1)^8 = -1$, а $y_2 = -1 - 4 = -5$. Здесь кривая выше прямой. При $x = -2$, $y_1 = -(-2)^8 = -256$, а $y_2 = -2 - 4 = -6$. Здесь прямая выше кривой. Так как обе функции непрерывны, между $x=-2$ и $x=-1$ должно быть одно пересечение.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) $x^5 = 2x - 5$

Аналогично первому пункту, представим уравнение в виде двух функций и найдем количество точек их пересечения.
Пусть $y_1 = x^5$ и $y_2 = 2x - 5$.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = x^5$. Это степенная функция с нечетным показателем 5. Её график симметричен относительно начала координат, проходит через точку (0, 0) и расположен в I и III координатных четвертях. Функция является возрастающей на всей числовой оси.

2. Рассмотрим функцию $y_2 = 2x - 5$. Это линейная функция, её график — прямая с угловым коэффициентом $k=2$. Прямая пересекает ось OY в точке (0, -5).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

• График $y_1 = x^5$ проходит через (0, 0).
• Прямая $y_2 = 2x - 5$ проходит через (0, -5).
• При $x < 0$, оба графика находятся в III четверти. Проверим значения: при $x = -1$, $y_1 = (-1)^5 = -1$, а $y_2 = 2(-1) - 5 = -7$. График $y_1$ выше. При $x = -2$, $y_1 = (-2)^5 = -32$, а $y_2 = 2(-2) - 5 = -9$. Теперь график $y_1$ ниже. Следовательно, в интервале от -2 до -1 есть одна точка пересечения. Поскольку при $x \to -\infty$ кривая $y_1=x^5$ убывает быстрее, чем прямая $y_2=2x-5$, другого пересечения при $x<0$ не будет.
• При $x \ge 0$, график $y_1 = x^5$ начинается в точке (0, 0) и возрастает, а прямая $y_2 = 2x - 5$ начинается в точке (0, -5) и также возрастает. В точке $x=0$ кривая уже находится выше прямой ($0 > -5$). Скорость роста функции $y_1 = x^5$ (её производная $5x^4$) при $x>1$ значительно больше скорости роста прямой (производная равна 2). Это означает, что кривая будет "убегать" от прямой вверх, и они больше никогда не пересекутся при $x \ge 0$.

Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения.

Ответ: 1 корень.

56. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} -x^4 - 1, & \text{если } x < 0 \\ -\sqrt{x} - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < 1 \\ 3 - 2x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1) $f(x) = \begin{cases} -x^4 - 1, & \text{если } x < 0 \\ -\sqrt{x} - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции рассмотрим две ее части.

На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с графиком $y = -x^4 - 1$. Этот график можно получить из графика функции $y = x^4$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Это ветвь кривой, проходящая, например, через точки $(-1, -2)$ и $(-2, -17)$. При приближении $x$ к 0 слева, $y$ стремится к $-1$. Точка $(0, -1)$ является "выколотой" для этой части графика.

На промежутке $[0, +\infty)$ график функции совпадает с графиком $y = -\sqrt{x} - 1$. Этот график можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. График представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(0, -1)$ и проходит, например, через точки $(1, -2)$ и $(4, -3)$.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Функция непрерывна в точке $x=0$, так как значение функции в этой точке $f(0) = -1$ совпадает с пределом функции при $x \to 0$ слева. Из построенного графика видно, что функция возрастает до точки $x=0$ и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

2) $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < 1 \\ 3 - 2x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Для построения графика данной функции также рассмотрим два промежутка.

На промежутке $(-\infty, 1)$ график функции совпадает с графиком степенной функции $y = x^5$. Это возрастающая функция, ее график проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(-1, -1)$. При приближении $x$ к 1 слева, значение $y$ стремится к $1^5=1$. Точка $(1, 1)$ является "выколотой" для этой части графика.

На промежутке $[1, +\infty)$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = 3 - 2x$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: при $x=1$, $y = 3 - 2(1) = 1$; при $x=2$, $y = 3 - 2(2) = -1$. Таким образом, эта часть графика представляет собой луч, выходящий из точки $(1, 1)$ и проходящий через точку $(2, -1)$. Так как угловой коэффициент прямой $k=-2$ отрицателен, функция на этом промежутке убывает.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Функция непрерывна в точке $x=1$, так как значение функции $f(1) = 1$ совпадает с пределом функции при $x \to 1$ слева. Из построенного графика видно, что функция возрастает до точки $x=1$ и убывает после нее.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.