Номер 48, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Функция задана формулой $f(x) = x^8$. Сравните:

1) $f(2,4)$ и $f(3,8)$;

2) $f(-8,7)$ и $f(-10,3)$;

3) $f(-9,6)$ и $f(9,6)$;

4) $f(-0,8)$ и $f(0,4)$.

Функция $f(x) = x^8$ является степенной функцией с четным показателем степени $n=8$. Для сравнения значений функции воспользуемся ее свойствами:

• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^8 = x^8 = f(x)$. Это означает, что значения функции для противоположных аргументов равны.
• Монотонность:
  • На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.
  • На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

1) Сравним $f(2,4)$ и $f(3,8)$.
Аргументы $x_1 = 2,4$ и $x_2 = 3,8$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция $f(x)=x^8$ возрастает. Поскольку $2,4 < 3,8$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $f(2,4) < f(3,8)$.
Ответ: $f(2,4) < f(3,8)$.

2) Сравним $f(-8,7)$ и $f(-10,3)$.
Аргументы $x_1 = -10,3$ и $x_2 = -8,7$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0]$, на котором функция $f(x)=x^8$ убывает. Поскольку $-10,3 < -8,7$, то значения функции будут находиться в обратном соотношении: $f(-10,3) > f(-8,7)$.
Ответ: $f(-8,7) < f(-10,3)$.

3) Сравним $f(-9,6)$ и $f(9,6)$.
Функция $f(x) = x^8$ является четной, поэтому для любого значения $a$ выполняется $f(-a) = f(a)$. В данном случае $a = 9,6$, следовательно, $f(-9,6) = f(9,6)$.
Ответ: $f(-9,6) = f(9,6)$.

4) Сравним $f(-0,8)$ и $f(0,4)$.
Воспользуемся свойством четности функции $f(x) = x^8$: $f(-0,8) = f(0,8)$.
Теперь задача сводится к сравнению $f(0,8)$ и $f(0,4)$. Оба аргумента, $0,8$ и $0,4$, принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция возрастает. Так как $0,4 < 0,8$, то $f(0,4) < f(0,8)$.
Заменив $f(0,8)$ обратно на $f(-0,8)$, получаем $f(0,4) < f(-0,8)$.
Ответ: $f(-0,8) > f(0,4)$.