Номер 44, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} < 0;$

2) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0;$

3) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \leq 0;$

4) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \geq 0.$

Для решения всех четырех неравенств сначала проанализируем выражения, входящие в них. Обозначим $f(x) = x^2 - 6x + 8$ и $g(x) = \sqrt{x^2 + 10x + 9}$.

Анализ множителя $f(x) = x^2 - 6x + 8$:
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, то:

• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$
• $f(x) < 0$ при $x \in (2, 4)$
• $f(x) = 0$ при $x = 2$ или $x = 4$

Анализ множителя $g(x) = \sqrt{x^2 + 10x + 9}$:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство $x^2 + 10x + 9 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 10x + 9 = 0$ по теореме Виета: $x_3 = -9$, $x_4 = -1$.
Так как это парабола с ветвями вверх, $x^2 + 10x + 9 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -9] \cup [-1, \infty)$. Это ОДЗ для всех исходных неравенств.
В своей области определения корень всегда неотрицателен, то есть $g(x) \ge 0$:

• $g(x) > 0$ при $x^2 + 10x + 9 > 0$, то есть при $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, \infty)$
• $g(x) = 0$ при $x^2 + 10x + 9 = 0$, то есть при $x = -9$ или $x = -1$

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} < 0$
Произведение двух множителей отрицательно. Так как $\sqrt{x^2 + 10x + 9} \ge 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы этот множитель был строго больше нуля, а первый множитель — строго меньше нуля. Это равносильно системе неравенств:$\begin{cases}x^2 - 6x + 8 < 0 \\x^2 + 10x + 9 > 0\end{cases}$
Решения этих неравенств из предварительного анализа:1) $x \in (2, 4)$2) $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, \infty)$
Найдем пересечение этих множеств: $x \in (2, 4) \cap ((-\infty, -9) \cup (-1, \infty))$. Интервал $(2, 4)$ полностью содержится в $(-1, \infty)$, поэтому пересечением будет $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (2, 4)$.

2) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0$
Произведение двух множителей положительно. Так как $\sqrt{x^2 + 10x + 9} \ge 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы оба множителя были строго больше нуля. Это равносильно системе неравенств:$\begin{cases}x^2 - 6x + 8 > 0 \\x^2 + 10x + 9 > 0\end{cases}$
Решения этих неравенств из предварительного анализа:1) $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$2) $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, \infty)$
Найдем пересечение этих множеств: $x \in ((-\infty, 2) \cup (4, \infty)) \cap ((-\infty, -9) \cup (-1, \infty))$.
Пересечение интервалов дает: $(-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$.

3) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \le 0$
Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.
1. Случай равенства нулю: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю (и при этом выражение определено).- $x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2$ или $x = 4$. Оба значения входят в ОДЗ.- $\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0 \implies x = -9$ или $x = -1$. Решения уравнения: $\{-9, -1, 2, 4\}$.
2. Случай строгого неравенства: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} < 0$.
Это неравенство решено в пункте 1), его решение: $x \in (2, 4)$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем: $\{-9, -1, 2, 4\} \cup (2, 4) = \{-9, -1\} \cup [2, 4]$.
Ответ: $x \in \{-9, -1\} \cup [2, 4]$.

4) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \ge 0$
Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.
1. Случай равенства нулю: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0$.
Решения найдены в пункте 3): $x \in \{-9, -1, 2, 4\}$.
2. Случай строгого неравенства: $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0$.
Это неравенство решено в пункте 2), его решение: $x \in (-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем: $\{-9, -1, 2, 4\} \cup ((-\infty, -9) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)) = (-\infty, -9] \cup [-1, 2] \cup [4, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -9] \cup [-1, 2] \cup [4, \infty)$.