Номер 62, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Сравните:

1) $f(7,2)$ и $f(6,5)$;

2) $f(-1,5)$ и $f(-1,8)$;

3) $f(42)$ и $f(-42)$;

4) $f(-10)$ и $f(6)$.

Дана функция $f(x) = x^{-32}$. Для анализа преобразуем ее к виду $f(x) = \frac{1}{x^{32}}$.

Рассмотрим свойства этой функции. Во-первых, показатель степени (-32) является четным числом, поэтому функция является четной. Это означает, что $f(-x) = (-x)^{-32} = \frac{1}{(-x)^{32}} = \frac{1}{x^{32}} = f(x)$ для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$). График функции симметричен относительно оси ординат.

Во-вторых, исследуем монотонность. На промежутке $(0, +\infty)$ при увеличении положительного значения $x$, значение $x^{32}$ также увеличивается. Так как мы берем обратную величину, значение функции $f(x) = \frac{1}{x^{32}}$ будет уменьшаться. Следовательно, функция убывает на $(0, +\infty)$. На промежутке $(-\infty, 0)$ при увеличении $x$ (например, от -5 до -2), его модуль $|x|$ уменьшается. Из-за четности функции $f(x)=f(|x|)$, а так как $|x|$ принадлежит $(0, +\infty)$ и функция там убывает, то при уменьшении модуля $|x|$ значение функции будет увеличиваться. Следовательно, функция возрастает на $(-\infty, 0)$.

Основываясь на этих свойствах, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(7,2) и f(6,5);
Аргументы $7,2$ и $6,5$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $7,2 > 6,5$, то для убывающей функции выполняется неравенство $f(7,2) < f(6,5)$.
Ответ: $f(7,2) < f(6,5)$.

2) f(–1,5) и f(–1,8);
Аргументы $-1,5$ и $-1,8$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $-1,8 < -1,5$, то для возрастающей функции выполняется неравенство $f(-1,8) < f(-1,5)$.
Можно также решить, используя четность функции: $f(-1,5) = f(1,5)$ и $f(-1,8) = f(1,8)$. Теперь сравним $f(1,5)$ и $f(1,8)$. Так как $1,5 < 1,8$, а на промежутке $(0, +\infty)$ функция убывает, то $f(1,5) > f(1,8)$. Следовательно, $f(-1,5) > f(-1,8)$.
Ответ: $f(-1,5) > f(-1,8)$.

3) f(42) и f(–42);
Функция $f(x) = x^{-32}$ является четной, так как показатель степени (-32) — четное число. По определению четной функции, $f(x) = f(-x)$ для любого $x$ из области определения. Следовательно, $f(42) = f(-42)$.
Ответ: $f(42) = f(-42)$.

4) f(–10) и f(6).
Сначала используем свойство четности функции для аргумента $-10$: $f(-10) = f(10)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(10)$ и $f(6)$. Аргументы $10$ и $6$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $10 > 6$, то для убывающей функции выполняется неравенство $f(10) < f(6)$. Следовательно, $f(-10) < f(6)$.
Ответ: $f(-10) < f(6)$.