Номер 64, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Постройте график функции:

1) $y = x^{-4} - 3;$

2) $y = (x - 3)^{-4};$

3) $y = \frac{1}{3}x^{-2}.$

1) $y = x^{-4} - 3$

Для построения графика функции $y = x^{-4} - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y = x^{-4}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$.

• Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• При $x > 0$ функция убывает, при $x < 0$ функция возрастает.
• График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось OY) и горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось OX).
• Все значения функции положительны, $y > 0$.
• Контрольные точки: при $x=1$, $y=1$; при $x=-1$, $y=1$; при $x=2$, $y = \frac{1}{16}$; при $x=-2$, $y = \frac{1}{16}$.

2. Чтобы получить график функции $y = x^{-4} - 3$, необходимо сдвинуть график функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

• Все точки графика смещаются на 3 вниз. Например, точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переходят в точки $(1, -2)$ и $(-1, -2)$.
• Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений.
• Горизонтальная асимптота смещается на 3 единицы вниз и становится $y = -3$.
• Область значений функции становится $E(y) = (-3; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = x^{-4} - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вниз. График имеет две ветви, симметричные относительно оси OY, приближающиеся к вертикальной асимптоте $x=0$ и горизонтальной асимптоте $y=-3$.

2) $y = (x - 3)^{-4}$

Для построения графика функции $y = (x - 3)^{-4}$ также используем преобразования.

1. В качестве базовой функции снова берем $y = x^{-4}$ или $y = \frac{1}{x^4}$. Ее свойства описаны в предыдущем пункте.

2. Чтобы получить график функции $y = (x - 3)^{-4}$, необходимо сдвинуть график функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX.

• Все точки графика смещаются на 3 вправо. Например, точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переходят в точки $(1+3, 1) = (4, 1)$ и $(-1+3, 1) = (2, 1)$.
• Вертикальная асимптота смещается на 3 единицы вправо и становится $x = 3$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.
• Область определения функции: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
• График становится симметричным относительно прямой $x=3$.

Ответ: График функции $y = (x - 3)^{-4}$ получается путем сдвига графика функции $y = x^{-4}$ на 3 единицы вправо. График имеет две ветви, симметричные относительно прямой $x=3$, приближающиеся к вертикальной асимптоте $x=3$ и горизонтальной асимптоте $y=0$.

3) $y = \frac{1}{3}x^{-2}$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}x^{-2}$ выполним следующие шаги.

1. Построим график базовой функции $y = x^{-2}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^2}$.

• Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
• Все значения функции положительны, $y > 0$.
• Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, \frac{1}{4})$, $(-2, \frac{1}{4})$.

2. Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{3}x^{-2}$, необходимо выполнить вертикальное сжатие (растяжение с коэффициентом $\frac{1}{3}$) графика функции $y = x^{-2}$ к оси OX. Это означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ нужно умножить на $\frac{1}{3}$.

• Асимптоты $x=0$ и $y=0$ остаются без изменений.
• Симметрия относительно оси OY сохраняется.
• Контрольные точки преобразуются: $(1, 1)$ переходит в $(1, \frac{1}{3})$; $(-1, 1)$ переходит в $(-1, \frac{1}{3})$; $(2, \frac{1}{4})$ переходит в $(2, \frac{1}{12})$.
• График станет более "прижатым" к оси OX по сравнению с графиком $y = x^{-2}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}x^{-2}$ получается путем вертикального сжатия графика функции $y = x^{-2}$ к оси OX в 3 раза. График имеет две ветви, симметричные относительно оси OY, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.