Страница 5 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x - 6$ на промежутке $[-4; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2x - 6$ на промежутке $[-4; 3]$, проанализируем её свойства.

Данная функция является линейной, её график – прямая линия. Угловой коэффициент $k=2$. Поскольку коэффициент $k > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения, в том числе и на заданном отрезке.

Для возрастающей функции на отрезке её наименьшее значение достигается в левой крайней точке отрезка, а наибольшее – в правой.

Наименьшее значение функции
Вычислим значение функции на левой границе промежутка, то есть при $x = -4$:
$y(-4) = 2 \cdot (-4) - 6 = -8 - 6 = -14$.

Наибольшее значение функции
Вычислим значение функции на правой границе промежутка, то есть при $x = 3$:
$y(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -14, наибольшее значение функции равно 0.

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=-x^2 + 2x - 5$ на промежутке:

1) [-2; -1];

2) [0; 2];

3) [2; 4].

Данная функция $y = -x^2 + 2x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля). Своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Значение функции в вершине: $y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 5 = -1 + 2 - 5 = -4$.

На промежутке $(-\infty; 1]$ функция возрастает, а на промежутке $[1; \infty)$ — убывает.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на каждом из заданных промежутков.

1) $[-2; -1]$

Данный промежуток целиком лежит левее точки максимума ($x_v = 1$), поэтому на нем функция монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается в точке $x = -2$, а наибольшее — в точке $x = -1$.

Наименьшее значение: $y(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 5 = -4 - 4 - 5 = -13$.

Наибольшее значение: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 5 = -1 - 2 - 5 = -8$.

Ответ: наименьшее значение: -13, наибольшее значение: -8.

2) $[0; 2]$

В этот промежуток входит точка максимума $x_v = 1$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно значению в вершине.

Наибольшее значение: $y(1) = -4$.

Наименьшее значение ищем на концах отрезка:

$y(0) = -(0)^2 + 2(0) - 5 = -5$.

$y(2) = -(2)^2 + 2(2) - 5 = -4 + 4 - 5 = -5$.

Наименьшее значение равно -5.

Ответ: наименьшее значение: -5, наибольшее значение: -4.

3) $[2; 4]$

Данный промежуток целиком лежит правее точки максимума ($x_v = 1$), поэтому на нем функция монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в точке $x = 2$, а наименьшее — в точке $x = 4$.

Наибольшее значение: $y(2) = -(2)^2 + 2(2) - 5 = -4 + 4 - 5 = -5$.

Наименьшее значение: $y(4) = -(4)^2 + 2(4) - 5 = -16 + 8 - 5 = -13$.

Ответ: наименьшее значение: -13, наибольшее значение: -5.

7. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = -27$;

2) $f(x) = 8x^8 - 9x^4 + 24$;

3) $f(x) = \sqrt{14 - x^2}$;

4) $f(x) = \sqrt{28 - x} + \sqrt{28 + x}$;

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} + 1$;

6) $f(x) = \frac{x}{|x + 12| - |x - 12|}$.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = -27$

1. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это постоянная функция. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$. Поскольку значение функции не зависит от аргумента, $f(-x) = -27$.
Таким образом, $f(-x) = -27 = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

2) $f(x) = 8x^8 - 9x^4 + 24$

1. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 8(-x)^8 - 9(-x)^4 + 24$
Поскольку степень отрицательного числа с чётным показателем равна степени положительного числа с тем же показателем ($(-a)^{2n} = a^{2n}$), имеем:
$(-x)^8 = x^8$ и $(-x)^4 = x^4$.
Тогда $f(-x) = 8x^8 - 9x^4 + 24 = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

3) $f(x) = \sqrt{14 - x^2}$

1. Найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$14 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 14$
$-\sqrt{14} \le x \le \sqrt{14}$
Итак, $D(f) = [-\sqrt{14}, \sqrt{14}]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{14 - (-x)^2} = \sqrt{14 - x^2} = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

4) $f(x) = \sqrt{28 - x} + \sqrt{28 + x}$

1. Найдём область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\left\{\begin{matrix} 28 - x \ge 0 \\ 28 + x \ge 0 \end{matrix}\right. \implies \left\{\begin{matrix} x \le 28 \\ x \ge -28 \end{matrix}\right.$
Итак, $D(f) = [-28, 28]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{28 - (-x)} + \sqrt{28 + (-x)} = \sqrt{28 + x} + \sqrt{28 - x}$.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $f(-x) = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} + 1$

1. Найдём область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
Итак, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2}{|-x|} + 1$.
Используя свойства чётной степени $(-x)^2 = x^2$ и модуля $|-x| = |x|$, получаем:
$f(-x) = \frac{x^2}{|x|} + 1 = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

6) $f(x) = \frac{x}{|x+12| - |x-12|}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x+12| - |x-12| \ne 0$
$|x+12| \ne |x-12|$
Возведём обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны):
$(x+12)^2 \ne (x-12)^2$
$x^2 + 24x + 144 \ne x^2 - 24x + 144$
$48x \ne 0 \implies x \ne 0$.
Итак, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-x}{|(-x)+12| - |(-x)-12|} = \frac{-x}{|12-x| - |-(x+12)|}$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|12-x| = |x-12|$ и $|-(x+12)| = |x+12|$.
Подставим это в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-x}{|x-12| - |x+12|} = \frac{-x}{-(|x+12| - |x-12|)} = \frac{x}{|x+12| - |x-12|} = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

8. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = 7x - 4x^5;$

2) $f(x) = \frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6};$

3) $f(x) = \frac{2}{5 - 9x} - \frac{2}{5 + 9x};$

4) $f(x) = \sqrt{20 + x} - \sqrt{20 - x};$

5) $f(x) = x + \frac{2|x|}{x};$

6) $f(x) = \frac{3x^2}{|x + 14| - |x - 14|};$

Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть для любого $x \in D(f)$ верно, что $-x \in D(f)$) и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Докажем, что данные функции удовлетворяют этим условиям.

1)

Дана функция $f(x) = 7x - 4x^5$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 7(-x) - 4(-x)^5 = -7x - 4(-x^5) = -7x + 4x^5$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(7x - 4x^5) = -7x + 4x^5$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6}$.

Область определения: знаменатель дроби $5x^2 + 6$ не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $5x^2 + 6 \ge 6$. Следовательно, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, и эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{5(-x)^3 - 8(-x)}{5(-x)^2 + 6} = \frac{-5x^3 + 8x}{5x^2 + 6} = -\frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -\frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6}$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{2}{5 - 9x} - \frac{2}{5 + 9x}$.

Область определения функции задаётся условиями $5 - 9x \neq 0$ и $5 + 9x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{5}{9}$ и $x \neq -\frac{5}{9}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\frac{5}{9}) \cup (-\frac{5}{9}; \frac{5}{9}) \cup (\frac{5}{9}; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{2}{5 - 9(-x)} - \frac{2}{5 + 9(-x)} = \frac{2}{5 + 9x} - \frac{2}{5 - 9x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{2}{5 - 9x} - \frac{2}{5 + 9x}) = -\frac{2}{5 - 9x} + \frac{2}{5 + 9x} = \frac{2}{5 + 9x} - \frac{2}{5 - 9x}$.

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$, и функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

4)

Дана функция $f(x) = \sqrt{20 + x} - \sqrt{20 - x}$.

Область определения задаётся системой неравенств: $\begin{cases} 20 + x \ge 0 \\ 20 - x \ge 0 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x \ge -20 \\ x \le 20 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-20; 20]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{20 + (-x)} - \sqrt{20 - (-x)} = \sqrt{20 - x} - \sqrt{20 + x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\sqrt{20 + x} - \sqrt{20 - x}) = -\sqrt{20 + x} + \sqrt{20 - x} = \sqrt{20 - x} - \sqrt{20 + x}$.

Получаем, что $f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

5)

Дана функция $f(x) = x + \frac{2|x|}{x}$.

Область определения функции задаётся условием $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$, используя свойство модуля $|-a| = |a|$:

$f(-x) = (-x) + \frac{2|-x|}{-x} = -x + \frac{2|x|}{-x} = -x - \frac{2|x|}{x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(x + \frac{2|x|}{x}) = -x - \frac{2|x|}{x}$.

Сравнивая выражения, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

6)

Дана функция $f(x) = \frac{3x^2}{|x + 14| - |x - 14|}$.

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $|x + 14| - |x - 14| \neq 0$, или $|x + 14| \neq |x - 14|$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-14$ не равно расстоянию от $x$ до $14$. Это условие нарушается только в точке, равноудаленной от $-14$ и $14$, то есть при $x = 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, и она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$, используя свойства модуля $|-a| = |a|$ и $|a-b| = |b-a|$:

$f(-x) = \frac{3(-x)^2}{|(-x) + 14| - |(-x) - 14|} = \frac{3x^2}{|14 - x| - |-(x + 14)|} = \frac{3x^2}{|x - 14| - |x + 14|}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -\frac{3x^2}{|x + 14| - |x - 14|} = \frac{3x^2}{-(|x + 14| - |x - 14|)} = \frac{3x^2}{|x - 14| - |x + 14|}$.

Следовательно, $f(-x) = -f(x)$, и функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

9. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = -8x^6;$

2) $f(x) = 3x^2 - 5x - 11;$

3) $f(x) = -x^4 + 6x^2 - 5;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x};$

5) $f(x) = \sqrt{6 - x^2};$

6) $f(x) = (x - 5)^4 - (x + 5)^4;$

7) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8};$

8) $f(x) = (x + 4)(x - 1) - 3x;$

9) $f(x) = (x + 8)|x - 7| - (x - 8)|x + 7|;$

10) $f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4} - \frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4};$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить, является ли её область определения симметричной относительно начала координат, и затем сравнить значения $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

• Если область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция чётная.
• Если область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечётная.
• Если область определения несимметрична или ни одно из указанных равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $f(x) = -8x^6$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = -8(-x)^6 = -8x^6$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = 3x^2 - 5x - 11$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = 3(-x)^2 - 5(-x) - 11 = 3x^2 + 5x - 11$.
Сравниваем:$f(-x) \neq f(x)$, так как $3x^2 + 5x - 11 \neq 3x^2 - 5x - 11$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $3x^2 + 5x - 11 \neq -(3x^2 - 5x - 11) = -3x^2 + 5x + 11$.
Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = -x^4 + 6x^2 - 5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = -(-x)^4 + 6(-x)^2 - 5 = -x^4 + 6x^2 - 5$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x}$

Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 + 2x \neq 0 \implies x(x^2 + 2) \neq 0$. Так как $x^2 + 2 > 0$ для любого $x$, то $x \neq 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 2x} = -\frac{1}{x^3 + 2x}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

5) $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$

Найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 6 \implies -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$.
Область определения $D(f) = [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

6) $f(x) = (x - 5)^4 - (x + 5)^4$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = ((-x) - 5)^4 - ((-x) + 5)^4 = (-(x + 5))^4 - (-(x - 5))^4$.
Так как степень чётная, $(-(a))^4 = a^4$.
$f(-x) = (x + 5)^4 - (x - 5)^4 = -((x - 5)^4 - (x + 5)^4) = -f(x)$.
Функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

7) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}$

Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x - 8 \neq 0 \implies 2x \neq 8 \implies x \neq 4$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Эта область не является симметричной относительно начала координат (например, $-4 \in D(f)$, но $4 \notin D(f)$).
Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

8) $f(x) = (x + 4)(x - 1) - 3x$

Упростим выражение: $f(x) = x^2 - x + 4x - 4 - 3x = x^2 - 4$.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

9) $f(x) = (x + 8)|x - 7| - (x - 8)|x + 7|$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 8)|-x - 7| - (-x - 8)|-x + 7|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$f(-x) = (8 - x)|-(x + 7)| - (-(x + 8))|-(x - 7)| = (8 - x)|x + 7| + (x + 8)|x - 7|$.
Переставим слагаемые и вынесем минус: $f(-x) = (x + 8)|x - 7| - (x - 8)|x + 7|$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и функция является чётной.

Ответ: чётная.

10) $f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4} - \frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4}$

Найдём область определения. Дискриминанты знаменателей $x^2 + 2x + 4$ и $x^2 - 2x + 4$ отрицательны ($D = 4 - 16 = -12 < 0$), поэтому знаменатели никогда не равны нулю.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{2(-x) - 3}{(-x)^2 + 2(-x) + 4} - \frac{2(-x) + 3}{(-x)^2 - 2(-x) + 4} = \frac{-2x - 3}{x^2 - 2x + 4} - \frac{-2x + 3}{x^2 + 2x + 4}$.
Вынесем минус в числителях: $f(-x) = \frac{-(2x + 3)}{x^2 - 2x + 4} - \frac{-(2x - 3)}{x^2 + 2x + 4} = -\frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4} + \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4}$.
Переставив слагаемые, получим: $f(-x) = \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4} - \frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4}$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и функция является чётной.

Ответ: чётная.