Номер 22, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{4x+3}$;

2) $y = \frac{1}{3-4x}$;

3) $y = \frac{6}{4x-3}-1$.

1) $y = \frac{1}{4x + 3}$

Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. График можно получить из графика базовой функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью преобразований. Преобразуем выражение: $y = \frac{1}{4(x + \frac{3}{4})} = \frac{1/4}{x + \frac{3}{4}}$. Это график функции $y = \frac{1/4}{x}$, смещенный на $\frac{3}{4}$ влево.

1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $4x + 3 \neq 0$ $4x \neq -3$ $x \neq -0.75$ Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -0.75) \cup (-0.75; +\infty)$.

2. Асимптоты. Вертикальная асимптота — прямая, где функция не определена: $x = -0.75$. Горизонтальная асимптота — значение, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$. В данном случае $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{4x + 3} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

3. Построение графика. График функции — гипербола. Поскольку коэффициент $k = 1/4 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот. Для более точного построения найдем несколько точек:

• при $x = -2$, $y = \frac{1}{4(-2) + 3} = \frac{1}{-5} = -0.2$
• при $x = -1$, $y = \frac{1}{4(-1) + 3} = \frac{1}{-1} = -1$
• при $x = -0.5$, $y = \frac{1}{4(-0.5) + 3} = \frac{1}{1} = 1$
• при $x = 0$, $y = \frac{1}{4(0) + 3} = \frac{1}{3}$

Для построения графика необходимо начертить систему координат, провести пунктирными линиями асимптоты $x = -0.75$ и $y = 0$ (ось Ox), отметить вычисленные точки и провести через них две ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -0.75$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.

2) $y = \frac{1}{3 - 4x}$

Это также функция обратной пропорциональности (гипербола). Преобразуем ее вид для удобства анализа: $y = \frac{1}{-(4x - 3)} = -\frac{1}{4x - 3} = -\frac{1/4}{x - \frac{3}{4}}$. Это график функции $y = -\frac{1/4}{x}$, смещенный на $\frac{3}{4}$ вправо.

1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $3 - 4x \neq 0$ $4x \neq 3$ $x \neq 0.75$ Область определения $D(y) = (-\infty; 0.75) \cup (0.75; +\infty)$.

2. Асимптоты. Вертикальная асимптота: $x = 0.75$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{3 - 4x} = 0$.

3. Построение графика. График функции — гипербола. Так как коэффициент $k = -1/4 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях относительно асимптот. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3 - 0} = \frac{1}{3}$
• при $x = 0.5$, $y = \frac{1}{3 - 4(0.5)} = \frac{1}{3 - 2} = 1$
• при $x = 1$, $y = \frac{1}{3 - 4(1)} = \frac{1}{-1} = -1$
• при $x = 2$, $y = \frac{1}{3 - 4(2)} = \frac{1}{-5} = -0.2$

Строим асимптоты $x = 0.75$ и $y = 0$. Отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 0.75$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

3) $y = \frac{6}{4x - 3} - 1$

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{6}{4x-3}$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

1. Область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю: $4x - 3 \neq 0$ $4x \neq 3$ $x \neq 0.75$ Область определения $D(y) = (-\infty; 0.75) \cup (0.75; +\infty)$.

2. Асимптоты. Вертикальная асимптота: $x = 0.75$. Горизонтальная асимптота: $y = -1$ (так как при $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{6}{4x-3} \to 0$, а $y \to 0 - 1 = -1$).

3. Построение графика. Коэффициент $k$ в числителе положителен ($6$), поэтому ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно новых осей (асимптот). Найдем точки пересечения с осями координат и еще несколько точек.

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
  $y = \frac{6}{4(0) - 3} - 1 = \frac{6}{-3} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  $0 = \frac{6}{4x - 3} - 1 \implies 1 = \frac{6}{4x - 3} \implies 4x - 3 = 6 \implies 4x = 9 \implies x = 2.25$. Точка $(2.25; 0)$.
• Дополнительные точки:
  при $x = 1$, $y = \frac{6}{4(1) - 3} - 1 = \frac{6}{1} - 1 = 5$. Точка $(1; 5)$.
  при $x = 2$, $y = \frac{6}{4(2) - 3} - 1 = \frac{6}{5} - 1 = 1.2 - 1 = 0.2$. Точка $(2; 0.2)$.

Строим асимптоты $x = 0.75$ и $y = -1$. Отмечаем найденные точки и строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 0.75$ и горизонтальной асимптотой $y = -1$.