Номер 23, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x - 3}$;

2) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 3}$;

3) $y = \sqrt{3 - 2x}$;

4) $y = \sqrt{2x + 4} - 3$;

5) $y = 0,5\sqrt{6 - 4x} + 2$;

6) $y = -2\sqrt{3x + 2} - 1$.

1) $y = \sqrt{2x - 3}$

График данной функции — это ветвь параболы, которая является преобразованием (смещение и сжатие) графика функции $y=\sqrt{x}$. Для построения выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$2x - 3 \ge 0$
$2x \ge 3$
$x \ge 1.5$
Область определения $D(y) = [1.5; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика. Это точка, в которой подкоренное выражение равно нулю.
При $x = 1.5$, значение функции $y = \sqrt{2 \cdot 1.5 - 3} = \sqrt{0} = 0$.
Следовательно, начальная точка графика — $(1.5; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек. Для удобства выберем значения $x$ так, чтобы подкоренное выражение было точным квадратом:
- при $x = 2$, $y = \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2; 1)$.
- при $x = 3.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 3.5 - 3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3.5; 2)$.
- при $x = 6$, $y = \sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(6; 3)$.

4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(1.5; 0)$, $(2; 1)$, $(3.5; 2)$, $(6; 3)$ и соединяем их плавной линией. График направлен вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(1.5; 0)$, направленная вправо и вверх, проходящая через точки $(2; 1)$, $(3.5; 2)$ и $(6; 3)$.

2) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 3}$

График данной функции — это ветвь параболы, являющаяся преобразованием графика $y=\sqrt{x}$.

1. Найдем область определения функции.
$\frac{1}{2}x + 3 \ge 0$
$\frac{1}{2}x \ge -3$
$x \ge -6$
Область определения $D(y) = [-6; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = -6$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-6) + 3} = \sqrt{-3+3} = \sqrt{0} = 0$.
Начальная точка графика — $(-6; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = -4$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-4) + 3} = \sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-4; 1)$.
- при $x = 2$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(2) + 3} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2; 2)$.
- при $x = 12$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(12) + 3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(12; 3)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(-6; 0)$, $(-4; 1)$, $(2; 2)$, $(12; 3)$ и соединяем их плавной кривой, направленной вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-6; 0)$, направленная вправо и вверх, проходящая через точки $(-4; 1)$, $(2; 2)$ и $(12; 3)$.

3) $y = \sqrt{3 - 2x}$

График данной функции — это ветвь параболы. Отрицательный коэффициент при $x$ под корнем означает, что ветвь будет направлена влево.

1. Найдем область определения функции.
$3 - 2x \ge 0$
$3 \ge 2x$
$x \le 1.5$
Область определения $D(y) = (-\infty; 1.5]$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = 1.5$, $y = \sqrt{3 - 2 \cdot 1.5} = \sqrt{0} = 0$.
Начальная точка графика — $(1.5; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = 1$, $y = \sqrt{3 - 2 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- при $x = -0.5$, $y = \sqrt{3 - 2(-0.5)} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-0.5; 2)$.
- при $x = -3$, $y = \sqrt{3 - 2(-3)} = \sqrt{3+6} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-3; 3)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(1.5; 0)$, $(1; 1)$, $(-0.5; 2)$, $(-3; 3)$ и соединяем их плавной кривой, направленной влево и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(1.5; 0)$, направленная влево и вверх, проходящая через точки $(1; 1)$, $(-0.5; 2)$ и $(-3; 3)$.

4) $y = \sqrt{2x + 4} - 3$

График функции — ветвь параболы, смещенная по осям Ox и Oy.

1. Найдем область определения функции.
$2x + 4 \ge 0$
$2x \ge -4$
$x \ge -2$
Область определения $D(y) = [-2; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = -2$, $y = \sqrt{2(-2) + 4} - 3 = \sqrt{0} - 3 = -3$.
Начальная точка графика — $(-2; -3)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = -1.5$, $y = \sqrt{2(-1.5) + 4} - 3 = \sqrt{1} - 3 = -2$. Точка $(-1.5; -2)$.
- при $x = 0$, $y = \sqrt{2 \cdot 0 + 4} - 3 = \sqrt{4} - 3 = -1$. Точка $(0; -1)$.
- при $x = 2.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 2.5 + 4} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 0$. Точка $(2.5; 0)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(-2; -3)$, $(-1.5; -2)$, $(0; -1)$, $(2.5; 0)$ и соединяем их плавной кривой, направленной вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-2; -3)$, направленная вправо и вверх, проходящая через точки $(-1.5; -2)$, $(0; -1)$ и $(2.5; 0)$.

5) $y = 0.5\sqrt{6 - 4x} + 2$

Для удобства построения сначала преобразуем функцию:
$y = 0.5\sqrt{4(1.5 - x)} + 2 = 0.5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{1.5 - x} + 2 = 0.5 \cdot 2 \cdot \sqrt{1.5 - x} + 2 = \sqrt{1.5 - x} + 2$.

1. Найдем область определения функции.
$1.5 - x \ge 0$
$x \le 1.5$
Область определения $D(y) = (-\infty; 1.5]$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = 1.5$, $y = \sqrt{1.5 - 1.5} + 2 = 0 + 2 = 2$.
Начальная точка графика — $(1.5; 2)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = 0.5$, $y = \sqrt{1.5 - 0.5} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 3$. Точка $(0.5; 3)$.
- при $x = -2.5$, $y = \sqrt{1.5 - (-2.5)} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 4$. Точка $(-2.5; 4)$.
- при $x = -7.5$, $y = \sqrt{1.5 - (-7.5)} + 2 = \sqrt{9} + 2 = 5$. Точка $(-7.5; 5)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(1.5; 2)$, $(0.5; 3)$, $(-2.5; 4)$ и соединяем их плавной кривой, направленной влево и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(1.5; 2)$, направленная влево и вверх, проходящая через точки $(0.5; 3)$ и $(-2.5; 4)$.

6) $y = -2\sqrt{3x + 2} - 1$

График функции — ветвь параболы. Отрицательный коэффициент перед корнем означает, что ветвь будет направлена вниз.

1. Найдем область определения функции.
$3x + 2 \ge 0$
$3x \ge -2$
$x \ge -\frac{2}{3}$
Область определения $D(y) = [-\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = -\frac{2}{3}$, $y = -2\sqrt{3(-\frac{2}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{0} - 1 = -1$.
Начальная точка графика — $(-\frac{2}{3}; -1)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = -\frac{1}{3}$, $y = -2\sqrt{3(-\frac{1}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{1} - 1 = -3$. Точка $(-\frac{1}{3}; -3)$.
- при $x = \frac{2}{3}$, $y = -2\sqrt{3(\frac{2}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{4} - 1 = -4 - 1 = -5$. Точка $(\frac{2}{3}; -5)$.
- при $x = \frac{7}{3}$, $y = -2\sqrt{3(\frac{7}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{9} - 1 = -6 - 1 = -7$. Точка $(\frac{7}{3}; -7)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(-\frac{2}{3}; -1)$, $(-\frac{1}{3}; -3)$, $(\frac{2}{3}; -5)$ и соединяем их плавной кривой, направленной вправо и вниз.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-\frac{2}{3}; -1)$, направленная вправо и вниз, проходящая через точки $(-\frac{1}{3}; -3)$, $(\frac{2}{3}; -5)$ и $(\frac{7}{3}; -7)$.