Номер 17, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. На рисунке 3 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 2;$

2) $y = f(x + 2);$

3) $y = 4 - f(x);$

4) $y = f(-2x).$

Рис. 3

Для решения задачи сначала определим вид исходной функции $y = f(x)$, график которой изображен на рисунке. Из графика видно, что он проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (4, 2). Эти точки удовлетворяют уравнению функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$:

• При $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$.
• При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$.
• При $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, исходная функция - это $f(x) = \sqrt{x}$ с областью определения $x \ge 0$. Теперь построим графики для каждой из заданных функций, используя правила преобразования графиков.

1) y = f(x) + 2

Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $c = 2$. Чтобы построить график функции $y = f(x) + 2$, необходимо сдвинуть (параллельно перенести) график исходной функции $y = f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, y_0 + 2)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, 0 + 2) = (0, 2)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, 1 + 2) = (1, 3)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, 2 + 2) = (4, 4)

Новый график будет начинаться в точке (0, 2) и проходить через точки (1, 3) и (4, 4), сохраняя свою форму.

Ответ: График функции $y = f(x) + 2$ получается путем сдвига графика $y = f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2) y = f(x + 2)

Это преобразование вида $y = f(x + c)$, где $c = 2$. Чтобы построить график функции $y = f(x + 2)$, необходимо сдвинуть график исходной функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 - 2, y_0)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0 - 2, 0) = (-2, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1 - 2, 1) = (-1, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4 - 2, 2) = (2, 2)

Новый график будет начинаться в точке (-2, 0) и проходить через точки (-1, 1) и (2, 2). Область определения функции изменится на $x \ge -2$.

Ответ: График функции $y = f(x + 2)$ получается путем сдвига графика $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

3) y = 4 - f(x)

Это преобразование можно представить в виде $y = -f(x) + 4$. Оно выполняется в два шага:
1. Отражение графика $y = f(x)$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -f(x)$.
2. Сдвиг полученного графика $y = -f(x)$ на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, -y_0 + 4)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, -0 + 4) = (0, 4)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, -1 + 4) = (1, 3)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, -2 + 4) = (4, 2)

Новый график будет начинаться в точке (0, 4), являясь перевернутой и смещенной вверх ветвью исходной функции.

Ответ: График функции $y = 4 - f(x)$ получается путем симметричного отражения графика $y = f(x)$ относительно оси Ox с последующим сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

4) y = f(-2x)

Это преобразование вида $y = f(kx)$, где $k = -2$. Оно также выполняется в два шага:
1. Отражение графика $y = f(x)$ симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y = f(-x)$.
2. Сжатие полученного графика $y = f(-x)$ к оси Oy в 2 раза (поскольку $|k| = 2 > 1$). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 / (-2), y_0)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0 / (-2), 0) = (0, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1 / (-2), 1) = (-0.5, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4 / (-2), 2) = (-2, 2)

Новый график будет начинаться в точке (0, 0), проходить через точки (-0.5, 1) и (-2, 2) и будет расположен в левой полуплоскости. Область определения функции изменится на $x \le 0$.

Ответ: График функции $y = f(-2x)$ получается путем симметричного отражения графика $y = f(x)$ относительно оси Oy с последующим сжатием к оси Oy в 2 раза.