Номер 25, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = x^2 + 1$;

2) $y = \frac{1}{x^6}$;

3) $y = -2$.

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна, то есть каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению функции $y$ из области значений соответствует единственное значение аргумента $x$. Это означает, что функция должна быть инъективной: для любых двух различных значений аргумента $x_1 \neq x_2$ значения функции также должны быть различны: $f(x_1) \neq f(x_2)$. Если мы можем найти два разных значения $x_1$ и $x_2$, для которых функция принимает одинаковое значение, то есть $f(x_1) = f(x_2)$, то функция не является инъективной, а значит, и не является обратимой. Докажем это для каждой из данных функций.

1) $y = x^2 + 1$

Область определения данной функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x$, для которых значения функции совпадают.

Возьмем, например, $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем значения функции для этих точек:

$y(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$y(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

Мы видим, что для двух различных значений аргумента $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$ функция принимает одно и то же значение $y = 2$. Следовательно, функция не является инъективной, а значит, не является обратимой.

Ответ: Функция $y = x^2 + 1$ не является обратимой, так как она не инъективна (например, $y(1) = y(-1)$).

2) $y = \frac{1}{x^6}$

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x = 0$ ($x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$).

Аналогично предыдущему пункту, найдем два различных значения $x$, для которых значения $y$ будут одинаковы.

Возьмем, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем значения функции для этих точек:

$y(2) = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$

$y(-2) = \frac{1}{(-2)^6} = \frac{1}{64}$

Так как для двух различных значений аргумента $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$ функция принимает одно и то же значение $y = \frac{1}{64}$, функция не является инъективной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^6}$ не является обратимой, так как она не инъективна (например, $y(2) = y(-2)$).

3) $y = -2$

Данная функция является постоянной. Область ее определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда будет равно $-2$.

Например, возьмем $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

$y(1) = -2$

$y(5) = -2$

Поскольку разным (и даже всем) значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, эта функция не является инъективной. Следовательно, она не является обратимой.

Ответ: Функция $y = -2$ не является обратимой, так как она является постоянной и, следовательно, не инъективна.