Номер 149, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Найдите значение выражения:

1) $2 \cos 0^{\circ} + 5 \sin 90^{\circ} - 4 \operatorname{tg} 180^{\circ}$;

2) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} + 3 \cos \frac{\pi}{2} - 4 \sin \frac{3 \pi}{2}$;

3) $\operatorname{tg} 45^{\circ} \cos 30^{\circ} \operatorname{ctg} 60^{\circ}$;

4) $\frac{\left(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{3 \pi}{2}\right) \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} 2 \pi}$;

5) $\sqrt{(2 \sin 45^{\circ} + 1)^{2}} - \sqrt{(1 - 2 \cos 45^{\circ})^{2}}$.

1) Найдем значение выражения $2\cos0^\circ + 5\sin90^\circ - 4\text{tg}180^\circ$.
Для этого воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для основных углов:
$\cos0^\circ = 1$
$\sin90^\circ = 1$
$\text{tg}180^\circ = 0$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$2\cos0^\circ + 5\sin90^\circ - 4\text{tg}180^\circ = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 2 + 5 - 0 = 7$.
Ответ: 7

2) Найдем значение выражения $\text{ctg}\frac{\pi}{2} + 3\cos\frac{\pi}{2} - 4\sin\frac{3\pi}{2}$.
Найдем значения тригонометрических функций для углов, заданных в радианах:
$\text{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$
$\cos\frac{\pi}{2} = 0$
$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$
Подставим значения в выражение:
$\text{ctg}\frac{\pi}{2} + 3\cos\frac{\pi}{2} - 4\sin\frac{3\pi}{2} = 0 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-1) = 0 + 0 + 4 = 4$.
Ответ: 4

3) Найдем значение выражения $\text{tg}45^\circ \cos30^\circ \text{ctg}60^\circ$.
Используем табличные значения тригонометрических функций:
$\text{tg}45^\circ = 1$
$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{ctg}60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Перемножим эти значения:
$\text{tg}45^\circ \cos30^\circ \text{ctg}60^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Найдем значение выражения $\frac{(\sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{2})\text{ctg}\frac{\pi}{6}}{\text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg}2\pi}$.
Сначала вычислим значения тригонометрических функций, входящих в выражение:
$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$
$\text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
$\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
$\text{tg}2\pi = 0$
Теперь подставим эти значения в выражение. Сначала вычислим числитель:
$(\sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{2})\text{ctg}\frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{2}}{2} + 0) \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Теперь вычислим знаменатель:
$\text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg}2\pi = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}$.
Наконец, разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

5) Найдем значение выражения $\sqrt{(2\sin45^\circ + 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\cos45^\circ)^2}$.
Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$).
Тогда выражение можно переписать в виде: $|2\sin45^\circ + 1| - |1 - 2\cos45^\circ|$.
Найдем значение $\sin45^\circ$ и $\cos45^\circ$:
$\sin45^\circ = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это значение в выражение под модулями:
$|2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1| - |1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}| = |\sqrt{2} + 1| - |1 - \sqrt{2}|$.
Теперь раскроем модули.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то выражение $\sqrt{2} + 1$ положительно, следовательно $|\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1$.
Так как $\sqrt{2} > 1$, то выражение $1 - \sqrt{2}$ отрицательно, следовательно $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.
Подставим раскрытые модули обратно в выражение:
$(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2$.
Ответ: 2