Номер 151, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \frac{5}{7}$;

2) $\sin \alpha = -\sqrt[3]{1,1}$;

3) $\sin \alpha = \frac{\pi}{5}$;

4) $\cos \alpha = \sqrt{2}-2?$

Для того чтобы равенство было возможно, значение тригонометрической функции синус или косинус для любого действительного угла $\alpha$ должно находиться в пределах от -1 до 1 включительно. То есть, должны выполняться неравенства: $-1 \le \sin\alpha \le 1$ и $-1 \le \cos\alpha \le 1$. Проверим это условие для каждого случая.

1) $\cos\alpha = \frac{5}{7}$

Необходимо проверить, выполняется ли условие $-1 \le \frac{5}{7} \le 1$.

Дробь $\frac{5}{7}$ является правильной, так как числитель 5 меньше знаменателя 7. Это означает, что $0 < \frac{5}{7} < 1$.

Поскольку значение $\frac{5}{7}$ находится в промежутке $[-1, 1]$, данное равенство возможно.

Ответ: да, возможно.

2) $\sin\alpha = -\sqrt[3]{1,1}$

Необходимо проверить, выполняется ли условие $-1 \le -\sqrt[3]{1,1} \le 1$.

Сначала оценим значение $\sqrt[3]{1,1}$. Так как $1,1 > 1$, то и кубический корень из этого числа будет больше 1: $\sqrt[3]{1,1} > \sqrt[3]{1}$, то есть $\sqrt[3]{1,1} > 1$.

Следовательно, если умножить обе части неравенства на -1, знак неравенства изменится: $-\sqrt[3]{1,1} < -1$.

Поскольку значение $-\sqrt[3]{1,1}$ меньше -1 и не входит в промежуток $[-1, 1]$, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

3) $\sin\alpha = \frac{\pi}{5}$

Необходимо проверить, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{5} \le 1$.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$.

Тогда $\frac{\pi}{5} \approx \frac{3,14159}{5} \approx 0,628$.

Значение $0,628$ находится в промежутке $[-1, 1]$, так как $-1 \le 0,628 \le 1$. Следовательно, данное равенство возможно.

Ответ: да, возможно.

4) $\cos\alpha = \sqrt{2} - 2$

Необходимо проверить, выполняется ли условие $-1 \le \sqrt{2} - 2 \le 1$.

Используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Тогда $\sqrt{2} - 2 \approx 1,414 - 2 = -0,586$.

Значение $-0,586$ находится в промежутке $[-1, 1]$, так как $-1 \le -0,586 \le 1$. Следовательно, данное равенство возможно.

Можно проверить и без приближений. Сравним $\sqrt{2} - 2$ с $-1$: $\sqrt{2} - 2 \ge -1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \ge 1$, что является верным. Теперь сравним с 1: $\sqrt{2} - 2 \le 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \le 3$, что также является верным. Таким образом, значение выражения принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Ответ: да, возможно.