Номер 182, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Вычислите значения тригонометрических функций угла α, если:

1) $sin\alpha = -\frac{2}{7}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2};$

2) $ctg\alpha = -\sqrt{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi.$

1) Дано: $sin\alpha = -\frac{2}{7}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в III четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Сначала найдем значение $cos\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

$cos^2\alpha = 1 - (-\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{49-4}{49} = \frac{45}{49}$

Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, значение косинуса отрицательное. Следовательно,

$cos\alpha = -\sqrt{\frac{45}{49}} = -\frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{\sqrt{49}} = -\frac{3\sqrt{5}}{7}$.

Теперь найдем $tg\alpha$ и $ctg\alpha$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{-2/7}{-3\sqrt{5}/7} = \frac{2}{3\sqrt{5}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$tg\alpha = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15}$.

Котангенс - это величина, обратная тангенсу:

$ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{5}/15} = \frac{15}{2\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$ctg\alpha = \frac{15 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{15\sqrt{5}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $cos\alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7}$, $tg\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{15}$, $ctg\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

2) Дано: $ctg\alpha = -\sqrt{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

Сначала найдем $tg\alpha$ как величину, обратную $ctg\alpha$.

$tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha} = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем $sin\alpha$ и $cos\alpha$, используя тождество $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.

$\frac{1}{sin^2\alpha} = 1 + (-\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$sin^2\alpha = \frac{1}{3}$.

Так как угол $\alpha$ находится в IV четверти, значение синуса отрицательное. Следовательно,

$sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения $cos\alpha$ воспользуемся определением котангенса $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$, откуда $cos\alpha = ctg\alpha \cdot sin\alpha$.

$cos\alpha = (-\sqrt{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Значение косинуса положительное, что соответствует IV четверти.

Ответ: $sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $tg\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.