Номер 188, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1 - \cos^2 \frac{\beta}{4}} - \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\beta}{4}}$, если $4\pi < \beta < 6\pi$;

2) $\sqrt{\cos^2 \beta(1 + \text{tg} \beta) + \sin^2 \beta(1 + \text{ctg} \beta)}$, если $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

1) Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Из него следуют формулы: $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $ и $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.
Также используем свойство квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.
Преобразуем исходное выражение:
$ \sqrt{1 - \cos^2 \frac{\beta}{4}} - \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\beta}{4}} = \sqrt{\sin^2 \frac{\beta}{4}} - \sqrt{\cos^2 \frac{\beta}{4}} = |\sin \frac{\beta}{4}| - |\cos \frac{\beta}{4}| $.
Теперь определим знаки синуса и косинуса, используя данное условие $ 4\pi < \beta < 6\pi $.
Разделим все части неравенства на 4, чтобы найти, в какой четверти находится угол $ \frac{\beta}{4} $:
$ \frac{4\pi}{4} < \frac{\beta}{4} < \frac{6\pi}{4} $, что равносильно $ \pi < \frac{\beta}{4} < \frac{3\pi}{2} $.
Этот интервал соответствует III координатной четверти, где и синус, и косинус имеют отрицательные значения.
Следовательно, $ \sin \frac{\beta}{4} < 0 $ и $ \cos \frac{\beta}{4} < 0 $.
Раскроем модули с учетом знаков:
$ |\sin \frac{\beta}{4}| = -\sin \frac{\beta}{4} $
$ |\cos \frac{\beta}{4}| = -\cos \frac{\beta}{4} $
Подставим полученные выражения обратно в преобразованное выражение:
$ |\sin \frac{\beta}{4}| - |\cos \frac{\beta}{4}| = (-\sin \frac{\beta}{4}) - (-\cos \frac{\beta}{4}) = -\sin \frac{\beta}{4} + \cos \frac{\beta}{4} = \cos \frac{\beta}{4} - \sin \frac{\beta}{4} $.
Ответ: $ \cos \frac{\beta}{4} - \sin \frac{\beta}{4} $.

2) Упростим подкоренное выражение, раскрыв скобки и используя определения тангенса $ \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $ и котангенса $ \operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $:
$ \cos^2 \beta(1 + \operatorname{tg} \beta) + \sin^2 \beta(1 + \operatorname{ctg} \beta) = \cos^2 \beta(1 + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}) + \sin^2 \beta(1 + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}) $
$ = \cos^2 \beta \cdot 1 + \cos^2 \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \sin^2 \beta \cdot 1 + \sin^2 \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $
$ = \cos^2 \beta + \cos \beta \sin \beta + \sin^2 \beta + \sin \beta \cos \beta $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + ( \sin \beta \cos \beta + \sin \beta \cos \beta) $.
Используя основное тригонометрическое тождество и приведя подобные слагаемые, получим:
$ 1 + 2\sin \beta \cos \beta $.
Это выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $, где $ a = \sin \beta $ и $ b = \cos \beta $:
$ (\sin \beta + \cos \beta)^2 $.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \sqrt{(\sin \beta + \cos \beta)^2} = |\sin \beta + \cos \beta| $.
Теперь определим знак выражения $ \sin \beta + \cos \beta $, используя данное условие $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.
Этот интервал соответствует III координатной четверти, где синус и косинус отрицательны: $ \sin \beta < 0 $ и $ \cos \beta < 0 $.
Сумма двух отрицательных чисел также является отрицательным числом, поэтому $ \sin \beta + \cos \beta < 0 $.
Раскроем модуль:
$ |\sin \beta + \cos \beta| = -(\sin \beta + \cos \beta) = -\sin \beta - \cos \beta $.
Ответ: $ -\sin \beta - \cos \beta $.