Номер 181, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\sin \alpha = -\frac{2}{3}$ и $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$;

2) $\operatorname{ctg} \alpha = 4$ и $\operatorname{tg} \alpha = -0,25$;

3) $\cos \alpha = -\frac{1}{7}$ и $\operatorname{tg} \alpha = -4\sqrt{3}$?

1) Чтобы проверить, могут ли равенства $\sin\alpha = -\frac{2}{3}$ и $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ выполняться одновременно, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Подставим данные значения в левую часть тождества:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Поскольку левая часть равна правой ($1 = 1$), тождество выполняется. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно. Угол $\alpha$ с такими значениями синуса и косинуса находится в III координатной четверти.

Ответ: да, могут.

2) Чтобы проверить, могут ли равенства $\text{ctg}\alpha = 4$ и $\text{tg}\alpha = -0,25$ выполняться одновременно, воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.

Подставим данные значения в левую часть тождества:

$\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = (-0,25) \cdot 4 = -1$.

Полученный результат ($-1$) не равен $1$, как того требует тождество. Следовательно, данные равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: нет, не могут.

3) Чтобы проверить, могут ли равенства $\cos\alpha = -\frac{1}{7}$ и $\text{tg}\alpha = -4\sqrt{3}$ выполняться одновременно, воспользуемся тождеством, связывающим косинус и тангенс: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Вычислим значение левой части равенства:

$1 + \text{tg}^2\alpha = 1 + (-4\sqrt{3})^2 = 1 + (16 \cdot 3) = 1 + 48 = 49$.

Теперь вычислим значение правой части равенства:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\left(-\frac{1}{7}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{49}} = 49$.

Поскольку левая и правая части равенства равны ($49 = 49$), тождество выполняется. Также необходимо проверить соответствие знаков. Если косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$), а тангенс отрицателен ($\text{tg}\alpha < 0$), то угол $\alpha$ находится во II координатной четверти, что является возможным. Таким образом, данные равенства могут выполняться одновременно.

Ответ: да, могут.