Номер 185, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{4}$;

2) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha + 3\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - 4\cos^2 \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = 5$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}$, зная, что $\text{tg}\,\alpha = -\frac{1}{4}$, воспользуемся определением тангенса $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Чтобы в выражении появился тангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это действие допустимо, так как если бы $\cos\alpha = 0$, то тангенс был бы не определен, что противоречит условию задачи.

$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{2\sin\alpha + 3\cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\text{tg}\,\alpha - 1}{2\text{tg}\,\alpha + 3}$

Теперь подставим известное значение $\text{tg}\,\alpha = -\frac{1}{4}$ в полученное выражение:

$\frac{-\frac{1}{4} - 1}{2 \cdot (-\frac{1}{4}) + 3} = \frac{-\frac{1}{4} - \frac{4}{4}}{-\frac{2}{4} + 3} = \frac{-\frac{5}{4}}{-\frac{1}{2} + \frac{6}{2}} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}$

Выполним деление дробей:

$-\frac{5}{4} \div \frac{5}{2} = -\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 5} = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Для нахождения значения выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha + 3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha}$, зная, что $\text{ctg}\,\alpha = 5$, воспользуемся определением котангенса $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Чтобы в выражении появился котангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$. Это действие допустимо, так как если бы $\sin\alpha = 0$, то котангенс был бы не определен, что противоречит условию.

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha + 3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{4\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + 3(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2}{1 - 4(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2} = \frac{\text{ctg}\,\alpha + 3\text{ctg}^2\alpha}{1 - 4\text{ctg}^2\alpha}$

Теперь подставим известное значение $\text{ctg}\,\alpha = 5$ в полученное выражение:

$\frac{5 + 3 \cdot 5^2}{1 - 4 \cdot 5^2} = \frac{5 + 3 \cdot 25}{1 - 4 \cdot 25} = \frac{5 + 75}{1 - 100} = \frac{80}{-99} = -\frac{80}{99}$

Ответ: $-\frac{80}{99}$.