Номер 191, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Докажите тождество:

1) $tg\alpha + tg\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta};$

2) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + 2\sin \alpha \sin \beta}{2\sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha + \beta)} = ctg(\alpha - \beta);$

3) $\sin 6\alpha ctg 3\alpha - \cos 6\alpha = 1.$

1)

Преобразуем левую часть тождества. Для этого представим тангенсы как отношение синуса к косинусу и приведем дроби к общему знаменателю:

$\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

В числителе получилась формула синуса суммы углов: $\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$.

Подставим это в наше выражение и получим правую часть тождества:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем формулы косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ и синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + 2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin\alpha\cos\beta - (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)}$

Упростим числитель и знаменатель, приведя подобные слагаемые:

Числитель: $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + 2\sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Знаменатель: $2\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Теперь свернем полученные выражения по формулам косинуса разности и синуса разности:

Числитель: $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta)$.

Знаменатель: $\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha - \beta)$.

В результате получаем:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} = \text{ctg}(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Запишем котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg} 3\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.

$\sin 6\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} - \cos 6\alpha$

Применим формулу синуса двойного угла для $\sin 6\alpha$: $\sin 6\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha$.

$2\sin 3\alpha \cos 3\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} - \cos 6\alpha$

Сократим дробь на $\sin 3\alpha$ (при условии, что $\sin 3\alpha \neq 0$):

$2\cos 3\alpha \cdot \cos 3\alpha - \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha - \cos 6\alpha$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла: $\cos 6\alpha = \cos(2 \cdot 3\alpha) = 2\cos^2 3\alpha - 1$.

$2\cos^2 3\alpha - (2\cos^2 3\alpha - 1) = 2\cos^2 3\alpha - 2\cos^2 3\alpha + 1 = 1$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.