Номер 190, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Упростите выражение:

1) $ \cos 2\beta \cos 5\beta + \sin 2\beta \sin 5\beta; $

2) $ \sin 53^{\circ} \cos 7^{\circ} + \cos 53^{\circ} \sin 7^{\circ}; $

3) $ \cos(4^{\circ} + \alpha)\sin(\alpha - 41^{\circ}) + \cos(\alpha - 41^{\circ})\sin(4^{\circ} + \alpha); $

4) $ \frac{\cos 63^{\circ} \cos 22^{\circ} + \sin 63^{\circ} \sin 22^{\circ}}{\sin 16^{\circ} \cos 25^{\circ} + \cos 16^{\circ} \sin 25^{\circ}}; $

5) $ \frac{\operatorname{tg} 47^{\circ} - \operatorname{tg} 17^{\circ}}{1 + \operatorname{tg} 47^{\circ} \operatorname{tg} 17^{\circ}}; $

6) $ \frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+\alpha\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-\alpha\right)}{1-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+\alpha\right)\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-\alpha\right)}. $

1) Дано выражение: $ \cos 2\beta \cos 5\beta + \sin 2\beta \sin 5\beta $.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \gamma) = \cos\alpha \cos\gamma + \sin\alpha \sin\gamma $.

В данном случае, если принять $ \alpha = 5\beta $ и $ \gamma = 2\beta $, то выражение полностью соответствует правой части формулы.

Следовательно, выражение можно свернуть: $ \cos(5\beta - 2\beta) = \cos(3\beta) $.

Ответ: $ \cos(3\beta) $.

2) Дано выражение: $ \sin 53^\circ \cos 7^\circ + \cos 53^\circ \sin 7^\circ $.

Это выражение является развернутой формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Здесь $ \alpha = 53^\circ $ и $ \beta = 7^\circ $.

Применяя формулу, получаем: $ \sin(53^\circ + 7^\circ) = \sin(60^\circ) $.

Табличное значение $ \sin(60^\circ) $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

3) Дано выражение: $ \cos(4^\circ + \alpha)\sin(\alpha - 41^\circ) + \cos(\alpha - 41^\circ)\sin(4^\circ + \alpha) $.

Для удобства восприятия поменяем слагаемые местами: $ \sin(4^\circ + \alpha)\cos(\alpha - 41^\circ) + \cos(4^\circ + \alpha)\sin(\alpha - 41^\circ) $.

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.

Пусть $ A = 4^\circ + \alpha $ и $ B = \alpha - 41^\circ $.

Тогда выражение равно: $ \sin((4^\circ + \alpha) + (\alpha - 41^\circ)) = \sin(4^\circ + \alpha + \alpha - 41^\circ) = \sin(2\alpha - 37^\circ) $.

Ответ: $ \sin(2\alpha - 37^\circ) $.

4) Дано выражение: $ \frac{\cos 63^\circ \cos 22^\circ + \sin 63^\circ \sin 22^\circ}{\sin 16^\circ \cos 25^\circ + \cos 16^\circ \sin 25^\circ} $.

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $ \cos 63^\circ \cos 22^\circ + \sin 63^\circ \sin 22^\circ $. Это формула косинуса разности $ \cos(A - B) $.
$ \cos(63^\circ - 22^\circ) = \cos(41^\circ) $.

Знаменатель: $ \sin 16^\circ \cos 25^\circ + \cos 16^\circ \sin 25^\circ $. Это формула синуса суммы $ \sin(A + B) $.
$ \sin(16^\circ + 25^\circ) = \sin(41^\circ) $.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь: $ \frac{\cos(41^\circ)}{\sin(41^\circ)} $.

По определению котангенса $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $, получаем $ \cot(41^\circ) $.

Ответ: $ \cot(41^\circ) $.

5) Дано выражение: $ \frac{\tan 47^\circ - \tan 17^\circ}{1 + \tan 47^\circ \tan 17^\circ} $.

Это выражение соответствует формуле тангенса разности двух углов: $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} $.

Здесь $ \alpha = 47^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $.

Применяя формулу, получаем: $ \tan(47^\circ - 17^\circ) = \tan(30^\circ) $.

Табличное значение $ \tan(30^\circ) $ равно $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ или $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

6) Дано выражение: $ \frac{\tan(\frac{\pi}{8} + \alpha) + \tan(\frac{\pi}{8} - \alpha)}{1 - \tan(\frac{\pi}{8} + \alpha) \tan(\frac{\pi}{8} - \alpha)} $.

Это выражение соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $.

Пусть $ A = \frac{\pi}{8} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{8} - \alpha $.

Тогда выражение равно: $ \tan(A + B) = \tan\left(\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{8} - \alpha\right)\right) $.

Упростим аргумент тангенса: $ \frac{\pi}{8} + \alpha + \frac{\pi}{8} - \alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.

Таким образом, мы получаем $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Значение $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) $ равно 1.

Ответ: $ 1 $.