Номер 184, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\cos^2 \alpha - 4\sin^2 \alpha;$

2) $2\sin^2 \alpha + 3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha;$

3) $3\cos^2 \alpha - 4\sin \alpha;$

4) $4\sin \alpha - \cos^2 \alpha.$

1) $3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha$

Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим $\sin^2\alpha$ через $\cos^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

$3\cos^2\alpha - 4(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos^2\alpha - 4 + 4\cos^2\alpha = 7\cos^2\alpha - 4$.

Известно, что область значений функции $\cos^2\alpha$ есть отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Чтобы найти область значений для всего выражения, выполним следующие действия:

1. Умножим все части неравенства на 7: $0 \cdot 7 \le 7\cos^2\alpha \le 1 \cdot 7$, что дает $0 \le 7\cos^2\alpha \le 7$.

2. Вычтем 4 из всех частей неравенства: $0 - 4 \le 7\cos^2\alpha - 4 \le 7 - 4$.

Получаем: $-4 \le 7\cos^2\alpha - 4 \le 3$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -4 (достигается при $\cos^2\alpha = 0$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\cos^2\alpha = 1$).

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 3.

2) $2\sin^2\alpha + 3 \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$

Упростим выражение, используя тождество $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$. Это тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых тангенс и котангенс определены.

$2\sin^2\alpha + 3 \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha = 2\sin^2\alpha + 3 \cdot 1 = 2\sin^2\alpha + 3$.

Область значений функции $\sin^2\alpha$ — это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Найдем область значений для всего выражения:

1. Умножим на 2: $0 \cdot 2 \le 2\sin^2\alpha \le 1 \cdot 2 \implies 0 \le 2\sin^2\alpha \le 2$.

2. Прибавим 3: $0 + 3 \le 2\sin^2\alpha + 3 \le 2 + 3 \implies 3 \le 2\sin^2\alpha + 3 \le 5$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно 3, а наибольшее — 5.

Ответ: наименьшее значение: 3, наибольшее значение: 5.

3) $3\cos^2\alpha - 4\sin\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы привести выражение к функции от $\sin\alpha$.

$3(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin\alpha = 3 - 3\sin^2\alpha - 4\sin\alpha = -3\sin^2\alpha - 4\sin\alpha + 3$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin\alpha$. Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то область значений для $t$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = -3t^2 - 4t + 3$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный: $a = -3 < 0$). Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-3)} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Поскольку значение $t_v = -2/3$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, наибольшее значение функции достигается в этой точке.

$y_{наиб} = f(-2/3) = -3(-\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{2}{3}) + 3 = -3(\frac{4}{9}) + \frac{8}{3} + 3 = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} + \frac{9}{3} = \frac{-4+8+9}{3} = \frac{13}{3}$.

Наименьшее значение квадратичной функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$f(-1) = -3(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -3 + 4 + 3 = 4$.

$f(1) = -3(1)^2 - 4(1) + 3 = -3 - 4 + 3 = -4$.

Сравнивая значения на концах отрезка, находим, что наименьшее значение равно -4.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: $\frac{13}{3}$.

4) $4\sin\alpha - \cos^2\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы привести выражение к функции от $\sin\alpha$.

$4\sin\alpha - (1 - \sin^2\alpha) = 4\sin\alpha - 1 + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha + 4\sin\alpha - 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin\alpha$. Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то область значений для $t$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = t^2 + 4t - 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $t^2$ положительный: $a = 1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2$.

Значение $t_v = -2$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Поскольку вершина параболы находится левее отрезка $[-1, 1]$, а ветви направлены вверх, функция $f(t)$ на этом отрезке монотонно возрастает.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка (при $t = -1$), а наибольшее — на правом (при $t = 1$).

$y_{наим} = f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4$.

$y_{наиб} = f(1) = (1)^2 + 4(1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 4.