Номер 180, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Упростите выражение:

1) $2 \cos^2 \alpha - 2$;

2) $4 - \cos^2 2\beta - \sin^2 2\beta$;

3) $(\cos 10\alpha - 1)(\cos 10\alpha + 1)$;

4) $3 - \frac{3}{\cos^2 5\alpha}$;

5) $\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta - \frac{1}{\cos^2 4\alpha}$;

6) $\tan 3\alpha \cot 3\alpha + \tan^2 \frac{\alpha}{4}$;

7) $\frac{\tan 2\alpha \cos 2\alpha}{1 + \cot^2 2\alpha}$;

8) $\sin^2 \frac{x}{4} \left(\tan \frac{x}{4} + \cot \frac{x}{4}\right)$;

9) $(\sin 4\alpha - \cos 4\alpha)^2 + (\sin 4\alpha + \cos 4\alpha)^2$;

10) $\frac{1 + \tan^2 3\alpha (\sin^2 3\alpha - 1)}{\cos^2 3\alpha}$.

1) Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2\cos^2\alpha - 2 = 2(\cos^2\alpha - 1)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$, получаем:
$2(-\sin^2\alpha) = -2\sin^2\alpha$.
Ответ: $-2\sin^2\alpha$.

2) Сгруппируем слагаемые и вынесем -1 за скобки:
$4 - \cos^2 2\beta - \sin^2 2\beta = 4 - (\cos^2 2\beta + \sin^2 2\beta)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ для $\theta = 2\beta$:
$4 - 1 = 3$.
Ответ: $3$.

3) Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \cos 10\alpha$ и $b = 1$:
$(\cos 10\alpha - 1)(\cos 10\alpha + 1) = (\cos 10\alpha)^2 - 1^2 = \cos^2 10\alpha - 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta$:
$\cos^2 10\alpha - 1 = -\sin^2 10\alpha$.
Ответ: $-\sin^2 10\alpha$.

4) Вынесем общий множитель 3 за скобки и приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$3 - \frac{3}{\cos^2 5\alpha} = 3\left(1 - \frac{1}{\cos^2 5\alpha}\right) = 3\left(\frac{\cos^2 5\alpha - 1}{\cos^2 5\alpha}\right)$.
Используя тождество $\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta$ и определение тангенса $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$:
$3\left(\frac{-\sin^2 5\alpha}{\cos^2 5\alpha}\right) = -3\tan^2 5\alpha$.
Ответ: $-3\tan^2 5\alpha$.

5) Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ к первой части выражения, где $\theta = 3\beta$:
$\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta - \frac{1}{\cos^2 4\alpha} = 1 - \frac{1}{\cos^2 4\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\cos^2 4\alpha - 1}{\cos^2 4\alpha} = \frac{-\sin^2 4\alpha}{\cos^2 4\alpha} = -\tan^2 4\alpha$.
Ответ: $-\tan^2 4\alpha$.

6) Используем тождество $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$:
$\tan 3\alpha \cdot \cot 3\alpha + \tan^2\frac{\alpha}{4} = 1 + \tan^2\frac{\alpha}{4}$.
Применим тождество $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$:
$1 + \tan^2\frac{\alpha}{4} = \frac{1}{\cos^2\frac{\alpha}{4}}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2\frac{\alpha}{4}}$.

7) Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $\tan 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \cos 2\alpha = \sin 2\alpha$.
Знаменатель: используем тождество $1 + \cot^2\theta = \frac{1}{\sin^2\theta}$, получаем $1 + \cot^2 2\alpha = \frac{1}{\sin^2 2\alpha}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{\sin^2 2\alpha}} = \sin 2\alpha \cdot \sin^2 2\alpha = \sin^3 2\alpha$.
Ответ: $\sin^3 2\alpha$.

8) Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:
$\tan\frac{x}{4} + \cot\frac{x}{4} = \frac{\sin\frac{x}{4}}{\cos\frac{x}{4}} + \frac{\cos\frac{x}{4}}{\sin\frac{x}{4}} = \frac{\sin^2\frac{x}{4} + \cos^2\frac{x}{4}}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}} = \frac{1}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}}$.
Теперь умножим на $\sin^2\frac{x}{4}$:
$\sin^2\frac{x}{4} \cdot \left(\frac{1}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}}\right) = \frac{\sin^2\frac{x}{4}}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}} = \frac{\sin\frac{x}{4}}{\cos\frac{x}{4}} = \tan\frac{x}{4}$.
Ответ: $\tan\frac{x}{4}$.

9) Раскроем квадраты, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(\sin 4\alpha - \cos 4\alpha)^2 + (\sin 4\alpha + \cos 4\alpha)^2 = $
$(\sin^2 4\alpha - 2\sin 4\alpha\cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha) + (\sin^2 4\alpha + 2\sin 4\alpha\cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha)$.
Сократим подобные члены:
$\sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha + \sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

10) Упростим выражение в числителе. Из тождества $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ следует, что $\sin^2 3\alpha - 1 = -\cos^2 3\alpha$.
Подставим это в числитель: $1 + \tan^2 3\alpha (-\cos^2 3\alpha)$.
Заменим $\tan^2 3\alpha$ на $\frac{\sin^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha}$:
$1 + \frac{\sin^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha}(-\cos^2 3\alpha) = 1 - \sin^2 3\alpha = \cos^2 3\alpha$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:
$\frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.