Номер 236, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Определите количество корней уравнения $\sin 2x = a$ на промежутке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$ в зависимости от значения $a$.

Для решения задачи определим количество корней уравнения $sin(2x) = a$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$ в зависимости от значений параметра $a$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Найдем, какому промежутку принадлежит переменная $t$. Если $x \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$, то $2x \in [2 \cdot (-\frac{\pi}{6}); 2 \cdot \frac{\pi}{3}]$, следовательно, $t \in [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.

Задача сводится к нахождению количества корней уравнения $sin(t) = a$ на промежутке $t \in [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$. Для этого исследуем поведение функции $y = sin(t)$ на данном промежутке.

• На отрезке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}]$ функция $sin(t)$ монотонно возрастает от $sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}]$ функция $sin(t)$ монотонно убывает от $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ до $sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, область значений функции $y = sin(t)$ на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ является отрезок $[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1]$.

Количество корней уравнения $sin(t) = a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = sin(t)$ с горизонтальной прямой $y = a$. Рассмотрим все возможные случаи для $a$.

При $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a > 1$

Значение $a$ находится вне области значений функции $sin(t)$ на рассматриваемом промежутке. Прямая $y=a$ не пересекает график функции, следовательно, уравнение не имеет корней. Ответ: 0 корней.

При $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ ровно один корень $t = -\frac{\pi}{3}$. Ответ: 1 корень.

При $-\frac{\sqrt{3}}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Прямая $y=a$ пересекает график функции $y=sin(t)$ только один раз на участке возрастания, в интервале $(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3})$. Ответ: 1 корень.

При $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ два корня: $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \frac{2\pi}{3}$. Ответ: 2 корня.

При $\frac{\sqrt{3}}{2} < a < 1$

Прямая $y=a$ пересекает график функции дважды: один раз на участке возрастания в интервале $(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2})$ и второй раз на участке убывания в интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3})$. Ответ: 2 корня.

При $a = 1$

Уравнение $sin(t) = 1$ имеет на промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$ ровно один корень в точке максимума функции $t = \frac{\pi}{2}$. Ответ: 1 корень.