Номер 203, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $ \sin 8\alpha; $

2) $ \cos \frac{\alpha}{6}; $

3) $ \sin 5\alpha; $

4) $ \mathrm{tg} \frac{\alpha}{4}; $

5) $ \sin (\alpha + \beta); $

6) $ \cos 1; $

7) $ \sin \left(\frac{2x}{3} - 20^{\circ}\right); $

8) $ \cos \left(\frac{2\pi}{7} + \gamma\right). $

Для решения данной задачи необходимо применить формулы двойного угла. Основные формулы:

• $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
• $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
• $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}(\alpha)}{1-\text{tg}^2(\alpha)}$

Для каждого выражения мы представим его аргумент в виде $2A$ и применим соответствующую формулу, выразив его через функции от угла $A$.

1) $\sin8\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
В данном случае аргумент $8\alpha$. Представим его как $2 \cdot (4\alpha)$. Таким образом, $A=4\alpha$.
Подставим $A=4\alpha$ в формулу:
$\sin(8\alpha) = \sin(2 \cdot 4\alpha) = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$.

Ответ: $2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$.

2) $\cos\frac{\alpha}{6}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2A - \sin^2A$.
Аргумент выражения равен $\frac{\alpha}{6}$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\alpha}{12})$. Таким образом, $A=\frac{\alpha}{12}$.
Подставим $A=\frac{\alpha}{12}$ в формулу:
$\cos(\frac{\alpha}{6}) = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{12}) = \cos^2(\frac{\alpha}{12}) - \sin^2(\frac{\alpha}{12})$.
Также можно использовать и другие формы этой формулы:
$\cos(\frac{\alpha}{6}) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{12}) - 1$ или $\cos(\frac{\alpha}{6}) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{12})$.

Ответ: $\cos^2(\frac{\alpha}{12}) - \sin^2(\frac{\alpha}{12})$.

3) $\sin5\alpha$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
Аргумент выражения равен $5\alpha$. Представим его как $2 \cdot (\frac{5\alpha}{2})$. Таким образом, $A=\frac{5\alpha}{2}$.
Подставим $A=\frac{5\alpha}{2}$ в формулу:
$\sin(5\alpha) = \sin(2 \cdot \frac{5\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{5\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha}{2})$.

Ответ: $2\sin(\frac{5\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha}{2})$.

4) $\text{tg}\frac{\alpha}{4}$

Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}(2A) = \frac{2\text{tg}(A)}{1-\text{tg}^2(A)}$.
Аргумент выражения равен $\frac{\alpha}{4}$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\alpha}{8})$. Таким образом, $A=\frac{\alpha}{8}$.
Подставим $A=\frac{\alpha}{8}$ в формулу:
$\text{tg}(\frac{\alpha}{4}) = \text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{8}) = \frac{2\text{tg}(\frac{\alpha}{8})}{1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{8})}$.

Ответ: $\frac{2\text{tg}(\frac{\alpha}{8})}{1-\text{tg}^2(\frac{\alpha}{8})}$.

5) $\sin(\alpha + \beta)$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
Аргумент выражения равен $(\alpha + \beta)$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\alpha + \beta}{2})$. Таким образом, $A=\frac{\alpha + \beta}{2}$.
Подставим $A=\frac{\alpha + \beta}{2}$ в формулу:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin(2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}) = 2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

Ответ: $2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

6) $\cos1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2A - \sin^2A$.
Аргумент выражения равен $1$. Представим его как $2 \cdot (\frac{1}{2})$. Таким образом, $A=\frac{1}{2}$.
Подставим $A=\frac{1}{2}$ в формулу:
$\cos(1) = \cos(2 \cdot \frac{1}{2}) = \cos^2(\frac{1}{2}) - \sin^2(\frac{1}{2})$.

Ответ: $\cos^2(\frac{1}{2}) - \sin^2(\frac{1}{2})$.

7) $\sin(\frac{2x}{3} - 20^{\circ})$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.
Аргумент выражения равен $(\frac{2x}{3} - 20^{\circ})$. Представим его как $2 \cdot (\frac{x}{3} - 10^{\circ})$. Таким образом, $A = \frac{x}{3} - 10^{\circ}$.
Подставим $A = \frac{x}{3} - 10^{\circ}$ в формулу:
$\sin(\frac{2x}{3} - 20^{\circ}) = \sin(2 \cdot (\frac{x}{3} - 10^{\circ})) = 2\sin(\frac{x}{3} - 10^{\circ})\cos(\frac{x}{3} - 10^{\circ})$.

Ответ: $2\sin(\frac{x}{3} - 10^{\circ})\cos(\frac{x}{3} - 10^{\circ})$.

8) $\cos(\frac{2\pi}{7} + \gamma)$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2A - \sin^2A$.
Аргумент выражения равен $(\frac{2\pi}{7} + \gamma)$. Представим его как $2 \cdot (\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})$. Таким образом, $A = \frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}$.
Подставим $A = \frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}$ в формулу:
$\cos(\frac{2\pi}{7} + \gamma) = \cos(2 \cdot (\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})) = \cos^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})$.

Ответ: $\cos^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{7} + \frac{\gamma}{2})$.