Номер 202, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Упростите выражение:

1) $ \cos 30^\circ + \cos 40^\circ + \cos 50^\circ + \dots + \cos 150^\circ; $

2) $ \tan 41^\circ \tan 42^\circ \tan 43^\circ \dots \tan 49^\circ. $

1) Рассмотрим сумму $S = \cos 30^\circ + \cos 40^\circ + \cos 50^\circ + \dots + \cos 150^\circ$.
Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. Каждая такая пара будет давать в сумме 0. Например:
$\cos 30^\circ + \cos 150^\circ = \cos 30^\circ + \cos(180^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ - \cos 30^\circ = 0$.
Аналогично, суммы пар $(\cos 40^\circ, \cos 140^\circ)$, $(\cos 50^\circ, \cos 130^\circ)$, $(\cos 60^\circ, \cos 120^\circ)$, $(\cos 70^\circ, \cos 110^\circ)$ и $(\cos 80^\circ, \cos 100^\circ)$ тоже равны нулю.
Центральным членом в этой последовательности является $\cos 90^\circ$, который не имеет пары. Его значение также равно 0.
Таким образом, вся сумма состоит из слагаемых, которые в сумме дают ноль, поэтому итоговый результат равен 0.
Ответ: 0

2) Рассмотрим произведение $P = \operatorname{tg} 41^\circ \operatorname{tg} 42^\circ \operatorname{tg} 43^\circ \dots \operatorname{tg} 49^\circ$.
Используем формулу приведения $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$ и тождество $\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = 1$.
Сгруппируем множители попарно: первый с последним, второй с предпоследним и так далее. Произведение каждой такой пары будет равно 1. Например:
$\operatorname{tg} 41^\circ \cdot \operatorname{tg} 49^\circ = \operatorname{tg} 41^\circ \cdot \operatorname{tg}(90^\circ - 41^\circ) = \operatorname{tg} 41^\circ \cdot \operatorname{ctg} 41^\circ = 1$.
Аналогично, произведения пар $(\operatorname{tg} 42^\circ, \operatorname{tg} 48^\circ)$, $(\operatorname{tg} 43^\circ, \operatorname{tg} 47^\circ)$ и $(\operatorname{tg} 44^\circ, \operatorname{tg} 46^\circ)$ равны 1.
Центральным множителем в этом произведении является $\operatorname{tg} 45^\circ$, который не имеет пары. Его значение равно 1.
Таким образом, всё произведение является произведением единиц, и итоговый результат равен 1.
Ответ: 1