Номер 206, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 + \cos\frac{\alpha}{2};$

2) $1 - \cos10\alpha;$

3) $1 - \sin\frac{2\pi}{9};$

4) $1 + \sin\alpha.$

1) Для преобразования выражения $1 + \cos\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В нашем случае аргумент у косинуса равен $\frac{\alpha}{2}$. Примем $2x = \frac{\alpha}{2}$, тогда $x = \frac{\alpha}{4}$.

Подставим это в формулу:

$1 + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{4}$.

Ответ: $2\cos^2\frac{\alpha}{4}$.

2) Для преобразования выражения $1 - \cos(10\alpha)$ воспользуемся другой формулой понижения степени, также следующей из формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

В данном выражении аргумент у косинуса равен $10\alpha$. Примем $2x = 10\alpha$, тогда $x = 5\alpha$.

Подставим в формулу:

$1 - \cos(10\alpha) = 2\sin^2(5\alpha)$.

Ответ: $2\sin^2(5\alpha)$.

3) Для преобразования выражения $1 - \sin\frac{2\pi}{9}$ сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы заменить синус на косинус: $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Применим ее к нашему выражению:

$\sin\frac{2\pi}{9} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{9}) = \cos(\frac{9\pi - 4\pi}{18}) = \cos\frac{5\pi}{18}$.

Теперь исходное выражение имеет вид $1 - \cos\frac{5\pi}{18}$.

Далее, как и в предыдущем пункте, используем формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Примем $2x = \frac{5\pi}{18}$, тогда $x = \frac{5\pi}{36}$.

Получаем:

$1 - \sin\frac{2\pi}{9} = 1 - \cos\frac{5\pi}{18} = 2\sin^2\frac{5\pi}{36}$.

Ответ: $2\sin^2\frac{5\pi}{36}$.

4) Для преобразования выражения $1 + \sin\alpha$ также используем формулу приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Заменим $\sin\alpha$ на $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Исходное выражение примет вид: $1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Теперь воспользуемся формулой $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

Примем $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, тогда $x = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Получаем:

$1 + \sin\alpha = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$.