Номер 212, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha}$;

2) $\frac{\sin^2 2\alpha - 4\sin^2 \alpha}{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4}$;

3) $\frac{2\cos^2 \alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}$;

4) $\frac{\sin 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha}$.

1) Приведем выражение к общему знаменателю:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos\alpha + \cos 3\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.
В числителе используем формулу синуса суммы $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $:
$ \sin 3\alpha \cos\alpha + \cos 3\alpha \sin\alpha = \sin(3\alpha + \alpha) = \sin 4\alpha $.
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $.
Подставляем преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{\sin 4\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 4\alpha}{\sin 2\alpha} $.
Теперь применим формулу синуса двойного угла к числителю $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:
$ \frac{2 \cdot 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 4\cos 2\alpha $.
Ответ: $ 4\cos 2\alpha $.

2) Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, тогда $ \sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $.
Преобразуем числитель:
$ \sin^2 2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $.
Тогда числитель равен $ 4\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -4\sin^4\alpha $.
Преобразуем знаменатель:
$ \sin^2 2\alpha + 4\sin^2\alpha - 4 = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4\sin^2\alpha - 4 = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4(1 - \sin^2\alpha) $.
Так как $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $, то знаменатель равен:
$ 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) $.
Так как $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $, то знаменатель равен $ 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha $.
Найдем отношение преобразованного числителя к знаменателю:
$ \frac{-4\sin^4\alpha}{-4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \text{tg}^4\alpha $.
Ответ: $ \text{tg}^4\alpha $.

3) В числителе используем формулу косинуса двойного угла: $ 2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha $.
Рассмотрим знаменатель $ 2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Используем формулу приведения $ \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x) = \text{tg} x $. Представим $ \frac{\pi}{4} - \alpha $ как $ \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Тогда $ \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Знаменатель принимает вид: $ 2\text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Распишем тангенс как отношение синуса к косинусу:
$ 2 \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} \cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.
Это формула синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, где $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $.
Знаменатель равен $ \sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) $.
Используя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos\beta $, получаем $ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos 2\alpha $.
Таким образом, все выражение равно:
$ \frac{\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

4) Для упрощения будем использовать формулы половинного угла (или двойного угла в другой форме):
$ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $
$ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
Рассмотрим каждую дробь по отдельности:
Первая дробь: $ \frac{\sin 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2\cos^2 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg} 2\alpha $.
Третья дробь: $ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.
Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:
$ \text{tg} 2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha $.
Заменим $ \text{tg} 2\alpha $ на $ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $:
$ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha $.
Сокращаем $ \cos 2\alpha $:
$ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha $.
Упростим оставшуюся дробь:
$ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $.
В итоге получаем произведение:
$ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $.
Ответ: $ 1 $.