gdz.top
Номер 214, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Формулы двойного и половинного углов - номер 214, страница 37.
№213
№214 (с. 37)
Условие. №214 (с. 37)
214. Докажите, что $\cos 4\beta \cos 8\beta \cos 16\beta = \frac{\sin 32\beta}{8\sin 4\beta}$.
Решение. №214 (с. 37)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Мы будем последовательно применять формулу синуса двойного угла в виде $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.
Рассмотрим левую часть равенства (обозначим ее $L$):
$L = cos(4\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)$
Умножим и разделим это выражение на $sin(4\beta)$, предполагая, что $sin(4\beta) \neq 0$. Это условие необходимо для существования правой части тождества, так как знаменатель не может быть равен нулю.
$L = \frac{sin(4\beta)cos(4\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)}{sin(4\beta)}$
Теперь преобразуем числитель. Заменим произведение $sin(4\beta)cos(4\beta)$ на $\frac{1}{2}sin(2 \cdot 4\beta) = \frac{1}{2}sin(8\beta)$:
$L = \frac{\frac{1}{2}sin(8\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)}{sin(4\beta)} = \frac{sin(8\beta)cos(8\beta)cos(16\beta)}{2sin(4\beta)}$
Снова применим ту же формулу к произведению $sin(8\beta)cos(8\beta)$, которое равно $\frac{1}{2}sin(2 \cdot 8\beta) = \frac{1}{2}sin(16\beta)$:
$L = \frac{\frac{1}{2}sin(16\beta)cos(16\beta)}{2sin(4\beta)} = \frac{sin(16\beta)cos(16\beta)}{4sin(4\beta)}$
И в последний раз применим формулу к произведению $sin(16\beta)cos(16\beta)$, которое равно $\frac{1}{2}sin(2 \cdot 16\beta) = \frac{1}{2}sin(32\beta)$:
$L = \frac{\frac{1}{2}sin(32\beta)}{4sin(4\beta)} = \frac{sin(32\beta)}{8sin(4\beta)}$
Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности его правую часть. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество $cos(4\beta)cos(8\beta)cos(16\beta) = \frac{sin(32\beta)}{8sin(4\beta)}$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 214 расположенного на странице 37 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №214 (с. 37), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.