Номер 207, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Понизьте степень выражения:

1) $ \cos^2 4x $;

2) $ \sin^2 3x $;

3) $ \sin^2 \left(\frac{x}{2} - 10^\circ\right) $;

4) $ \cos^2 \left(2\alpha - \frac{\pi}{8}\right) $.

Для понижения степени тригонометрических выражений (то есть для перехода от выражений вида $sin^2\alpha$ и $cos^2\alpha$ к выражениям с тригонометрическими функциями в первой степени) используются формулы понижения степени. Они являются следствиями формул косинуса двойного угла $cos(2\alpha)$.

Основные формулы:

• Для синуса в квадрате: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$

• Для косинуса в квадрате: $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$

Применим эти формулы к каждому из заданных выражений.

1) $cos^2 4x$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае аргумент $\alpha = 4x$. Подставим это значение в формулу:

$cos^2 4x = \frac{1 + cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1 + cos(8x)}{2}$.

Таким образом, мы избавились от второй степени, понизив ее до первой.

Ответ: $\frac{1 + cos(8x)}{2}$.

2) $sin^2 3x$

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь аргумент $\alpha = 3x$. Подставим это значение в формулу:

$sin^2 3x = \frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - cos(6x)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - cos(6x)}{2}$.

3) $sin^2(\frac{x}{2} - 10°)$

Применяем ту же формулу понижения степени для синуса: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.

В этом выражении аргумент $\alpha = \frac{x}{2} - 10°$. Подставляем его в формулу:

$sin^2(\frac{x}{2} - 10°) = \frac{1 - cos(2 \cdot (\frac{x}{2} - 10°))}{2}$.

Теперь необходимо упростить аргумент косинуса, умножив его на 2:

$2 \cdot (\frac{x}{2} - 10°) = 2 \cdot \frac{x}{2} - 2 \cdot 10° = x - 20°$.

В результате получаем:

$sin^2(\frac{x}{2} - 10°) = \frac{1 - cos(x - 20°)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - cos(x - 20°)}{2}$.

4) $cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8})$

Применяем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2\beta = \frac{1 + cos(2\beta)}{2}$. (Используем $\beta$ для обозначения аргумента, чтобы не путать с $\alpha$ в самом выражении).

В данном случае аргумент $\beta = 2\alpha - \frac{\pi}{8}$. Подставляем его в формулу:

$cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8}) = \frac{1 + cos(2 \cdot (2\alpha - \frac{\pi}{8}))}{2}$.

Упростим аргумент под знаком косинуса:

$2 \cdot (2\alpha - \frac{\pi}{8}) = 2 \cdot 2\alpha - 2 \cdot \frac{\pi}{8} = 4\alpha - \frac{2\pi}{8} = 4\alpha - \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, итоговое выражение:

$cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8}) = \frac{1 + cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.