Номер 225, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Найдите наибольший отрицательный корень уравне-

ния $\cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти корни уравнения, сначала решим его в общем виде.

Дано уравнение:$cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos(y) = a$. Его общее решение записывается как $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

В нашем случае $y = x - \frac{\pi}{3}$, а $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:$x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z$

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения:$x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Это равенство распадается на две серии корней.

1. Первая серия корней (со знаком «+»):$x_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

2. Вторая серия корней (со знаком «–»):$x_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Нам необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ в формулы для каждой серии и искать отрицательные корни, ближайшие к нулю.

Рассмотрим первую серию $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:

• при $n = 0$: $x_1 = \frac{\pi}{2}$ (положительный корень)
• при $n = -1$: $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$
• при $n = -2$: $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{2} - 4\pi = \frac{\pi - 8\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$

Наибольший (ближайший к нулю) отрицательный корень в этой серии — это $-\frac{3\pi}{2}$.

Рассмотрим вторую серию $x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:

• при $n = 0$: $x_2 = \frac{\pi}{6}$ (положительный корень)
• при $n = -1$: $x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$
• при $n = -2$: $x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$

Наибольший отрицательный корень в этой серии — это $-\frac{11\pi}{6}$.

Теперь сравним два найденных отрицательных корня: $-\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{11\pi}{6}$. Чтобы их сравнить, приведем дроби к общему знаменателю 6:

• $-\frac{3\pi}{2} = -\frac{3 \cdot 3 \pi}{2 \cdot 3} = -\frac{9\pi}{6}$
• $-\frac{11\pi}{6}$

Сравниваем числа $-\frac{9\pi}{6}$ и $-\frac{11\pi}{6}$. Так как $-9 > -11$, то $-\frac{9\pi}{6} > -\frac{11\pi}{6}$.

Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$