Номер 126, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 3 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[6]{x} - 5 = 0;$

3) $x - 8\sqrt[4]{x} = 0;$

4) $\sqrt{x + 3} - 3\sqrt[4]{x + 3} + 2 = 0;$

5) $\sqrt[3]{x^2 - 2x + 1} + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0.$

1) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \geq 0$.

Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Так как корень четной степени, то $t \geq 0$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 4$

$t_1 \cdot t_2 = 3$

Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t \geq 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[4]{x} = 1$. Возведя обе части в 4-ю степень, получаем $x = 1^4 = 1$.

2. Если $t = 3$, то $\sqrt[4]{x} = 3$. Возведя обе части в 4-ю степень, получаем $x = 3^4 = 81$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 81.

2) $\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[6]{x} - 5 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \geq 0$ (из-за наличия корня 6-й степени).

Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \geq 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

$t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому он является посторонним. Используем только $t_1 = 5$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 5$

Возведем обе части в 6-ю степень:

$x = 5^6 = 15625$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 15625.

3) $x - 8\sqrt[4]{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \geq 0$.

Заметим, что $x = (\sqrt[4]{x})^4$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $t \geq 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^4 - 8t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t^3 - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $t = 0$

2. $t^3 - 8 = 0 \implies t^3 = 8 \implies t = \sqrt[3]{8} = 2$

Оба корня $t_1 = 0$ и $t_2 = 2$ удовлетворяют условию $t \geq 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 0$, то $\sqrt[4]{x} = 0 \implies x = 0$.

2. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2 \implies x = 2^4 = 16$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 16.

4) $\sqrt{x + 3} - 3\sqrt[4]{x + 3} + 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3$.

Заметим, что $\sqrt{x+3} = (\sqrt[4]{x+3})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x + 3}$. Тогда $t \geq 0$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Найдем корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = 2$

Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t \geq 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[4]{x + 3} = 1 \implies x + 3 = 1^4 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.

2. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x + 3} = 2 \implies x + 3 = 2^4 \implies x + 3 = 16 \implies x = 13$.

Оба корня $x = -2$ и $x = 13$ удовлетворяют ОДЗ ($x \geq -3$).

Ответ: -2; 13.

5) $\sqrt[3]{x^2 - 2x + 1} + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0$

Заметим, что подкоренное выражение в первом слагаемом является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

Перепишем уравнение:

$\sqrt[3]{(x - 1)^2} + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0$

Это можно записать как $(\sqrt[3]{x - 1})^2 + 3\sqrt[3]{x - 1} - 4 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{x - 1}$. Для корня нечетной степени ограничений на $t$ нет.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Найдем корни по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -3$

$t_1 \cdot t_2 = -4$

Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\sqrt[3]{x - 1} = 1 \implies x - 1 = 1^3 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$.

2. Если $t = -4$, то $\sqrt[3]{x - 1} = -4 \implies x - 1 = (-4)^3 \implies x - 1 = -64 \implies x = -63$.

Ответ: -63; 2.