Номер 132, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Решите уравнение:

1) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$;

2) $\sqrt{x-4} - \sqrt{x-11} = 1$;

3) $\sqrt{x+7} + \sqrt{3-x} = 4$;

4) $\sqrt{4x+1} + \sqrt{x+2} = 5$.

1) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под корнями должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -4 \end{cases}$. Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

Перенесем один из радикалов в правую часть уравнения: $2\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{x+4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(2\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{x+4})^2$ $4(x-1) = 1 + 2\sqrt{x+4} + (x+4)$ $4x - 4 = x + 5 + 2\sqrt{x+4}$.

Уединим оставшийся корень и приведем подобные слагаемые: $4x - x - 4 - 5 = 2\sqrt{x+4}$ $3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$.

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо учесть, что правая часть уравнения $2\sqrt{x+4}$ неотрицательна, следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: $3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$. Это условие является более строгим, чем первоначальное ОДЗ.

Теперь возведем обе части уравнения $3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$ в квадрат: $(3x - 9)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$ $9x^2 - 54x + 81 = 4(x+4)$ $9x^2 - 54x + 81 = 4x + 16$ $9x^2 - 58x + 65 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024 = 32^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{58 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$ $x_2 = \frac{58 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$. Корень $x_1 = \frac{13}{9} \approx 1.44$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, следовательно, является посторонним. Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Выполним проверку подстановкой $x=5$ в исходное уравнение: $2\sqrt{5-1} - \sqrt{5+4} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{x-4} - \sqrt{x-11} = 1$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ x-11 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge 11 \end{cases}$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 11$.

Перенесем корень в правую часть: $\sqrt{x-4} = 1 + \sqrt{x-11}$.

Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x-4})^2 = (1 + \sqrt{x-11})^2$ $x - 4 = 1 + 2\sqrt{x-11} + (x-11)$ $x - 4 = x - 10 + 2\sqrt{x-11}$.

Упростим уравнение: $-4 + 10 = 2\sqrt{x-11}$ $6 = 2\sqrt{x-11}$ $3 = \sqrt{x-11}$.

Возведем обе части в квадрат еще раз: $3^2 = (\sqrt{x-11})^2$ $9 = x - 11$ $x = 20$.

Корень $x=20$ удовлетворяет ОДЗ ($20 \ge 11$). Проверим его, подставив в исходное уравнение: $\sqrt{20-4} - \sqrt{20-11} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$. $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $20$.

3) $\sqrt{x+7} + \sqrt{3-x} = 4$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 3 \end{cases}$. Следовательно, ОДЗ: $-7 \le x \le 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+7} + \sqrt{3-x})^2 = 4^2$ $(x+7) + 2\sqrt{(x+7)(3-x)} + (3-x) = 16$.

Приведем подобные слагаемые и уединим корень: $10 + 2\sqrt{-x^2 - 4x + 21} = 16$ $2\sqrt{-x^2 - 4x + 21} = 6$ $\sqrt{-x^2 - 4x + 21} = 3$.

Возведем обе части в квадрат: $-x^2 - 4x + 21 = 9$ $-x^2 - 4x + 12 = 0$ $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$ $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($-7 \le -6 \le 3$ и $-7 \le 2 \le 3$). Поскольку мы возводили в квадрат уравнение, обе части которого были заведомо неотрицательны, посторонние корни не должны были появиться. Тем не менее, выполним проверку.

Для $x = -6$: $\sqrt{-6+7} + \sqrt{3-(-6)} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$. Верно.

Для $x = 2$: $\sqrt{2+7} + \sqrt{3-2} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4$. Верно.

Ответ: $-6; 2$.

4) $\sqrt{4x+1} + \sqrt{x+2} = 5$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 4x+1 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/4 \\ x \ge -2 \end{cases}$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge -1/4$.

Уединим один из корней: $\sqrt{4x+1} = 5 - \sqrt{x+2}$.

Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $5 - \sqrt{x+2} \ge 0 \implies \sqrt{x+2} \le 5 \implies x+2 \le 25 \implies x \le 23$. С учетом ОДЗ получаем ограничение: $-1/4 \le x \le 23$.

Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{4x+1})^2 = (5 - \sqrt{x+2})^2$ $4x+1 = 25 - 10\sqrt{x+2} + (x+2)$ $4x+1 = x + 27 - 10\sqrt{x+2}$.

Уединим оставшийся корень: $3x - 26 = -10\sqrt{x+2}$ $26 - 3x = 10\sqrt{x+2}$.

Снова потребуем неотрицательность левой части: $26 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 26 \implies x \le \frac{26}{3}$. Объединяя все условия, получаем: $-1/4 \le x \le \frac{26}{3}$.

Возведем последнее уравнение в квадрат: $(26 - 3x)^2 = (10\sqrt{x+2})^2$ $676 - 156x + 9x^2 = 100(x+2)$ $9x^2 - 156x + 676 = 100x + 200$ $9x^2 - 256x + 476 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-256)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 476 = 65536 - 17136 = 48400 = 220^2$. Корни: $x_1 = \frac{256 - 220}{18} = \frac{36}{18} = 2$ $x_2 = \frac{256 + 220}{18} = \frac{476}{18} = \frac{238}{9}$.

Проверим корни. $x_1 = 2$. Этот корень удовлетворяет условию $-1/4 \le x \le \frac{26}{3}$ (т.к. $2 \le 8.66...$). $x_2 = \frac{238}{9} \approx 26.44$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \le \frac{26}{3}$, значит, он посторонний.

Проверим $x=2$ в исходном уравнении: $\sqrt{4 \cdot 2 + 1} + \sqrt{2+2} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$. $5=5$. Верно.

Ответ: $2$.