Номер 138, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Решите неравенство:

1) $(4 - 3x)\sqrt{x} \geq 0;$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 6 < 0;$

3) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x+15} \leq 6.$

1) $(4-3x)\sqrt{x} \geq 0$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x \geq 0$

2. Неравенство представляет собой произведение двух множителей: $(4-3x)$ и $\sqrt{x}$. Произведение неотрицательно, если множители имеют одинаковые знаки, или один из них равен нулю.

Поскольку по ОДЗ $x \geq 0$, то множитель $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, т.е. $\sqrt{x} \geq 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай а: $\sqrt{x} = 0$.

Это равенство достигается при $x=0$. Подставим это значение в исходное неравенство: $(4-3\cdot0)\sqrt{0} = 4 \cdot 0 = 0$. Условие $0 \geq 0$ выполняется, следовательно, $x=0$ является решением.

Случай б: $\sqrt{x} > 0$.

Это условие выполняется при $x > 0$. Так как $\sqrt{x}$ — положительное число, мы можем разделить обе части неравенства на $\sqrt{x}$, не меняя знака неравенства:

$4-3x \geq 0$

Перенесем $3x$ в правую часть:

$4 \geq 3x$

$x \leq \frac{4}{3}$

3. Объединим результаты. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям из случая б: $x > 0$ и $x \leq \frac{4}{3}$. Это интервал $(0, \frac{4}{3}]$.

Итоговое решение является объединением решения из первого случая ($x=0$) и второго случая ($(0, \frac{4}{3}]$):

$x \in [0, \frac{4}{3}]$

Ответ: $[0, \frac{4}{3}]$

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 6 \leq 0$

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех действительных чисел $x$, а выражение $\sqrt[6]{x}$ — только для неотрицательных $x$. Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \geq 0$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как по ОДЗ $x \geq 0$, то и $t \geq 0$.

Выразим $\sqrt[3]{x}$ через $t$: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$.

Подставим замену в исходное неравенство:

$t^2 + t - 6 \leq 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство относительно $t$. Сначала найдем корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

График функции $y = t^2 + t - 6$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \leq 0 $) между корнями, включая сами корни:

$-3 \leq t \leq 2$

4. Вернемся к замене, учитывая условие $t \geq 0$.

Получаем систему неравенств для $t$:

$\left\{ \begin{array}{l} -3 \leq t \leq 2, \\ t \geq 0 \end{array} \right.$

Решением этой системы является промежуток $0 \leq t \leq 2$.

5. Подставим обратно $\sqrt[6]{x}$ вместо $t$:

$0 \leq \sqrt[6]{x} \leq 2$

Неравенство $0 \leq \sqrt[6]{x}$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ. Остается решить неравенство $\sqrt[6]{x} \leq 2$.

Возведем обе части в шестую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[6]{x})^6 \leq 2^6$

$x \leq 64$

6. Учтем ОДЗ ($x \geq 0$). Объединяя условие $x \leq 64$ и ОДЗ $x \geq 0$, получаем итоговое решение:

$0 \leq x \leq 64$

Ответ: $[0, 64]$

3) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x+15} \leq 6$

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$\left\{ \begin{array}{l} x+3 \geq 0 \\ x+15 \geq 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x \geq -3 \\ x \geq -15 \end{array} \right.$

Пересечением этих двух условий является $x \geq -3$. Итак, ОДЗ: $x \in [-3, \infty)$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+3} + \sqrt{x+15}$. Функции $y_1 = \sqrt{x+3}$ и $y_2 = \sqrt{x+15}$ являются возрастающими на всей своей области определения. Их сумма $f(x)$ также является возрастающей функцией.

3. Решим соответствующее уравнение, чтобы найти пограничную точку:

$\sqrt{x+3} + \sqrt{x+15} = 6$

Уединим один из корней:

$\sqrt{x+15} = 6 - \sqrt{x+3}$

Возведем обе части в квадрат. Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $6 - \sqrt{x+3} \geq 0 \implies \sqrt{x+3} \leq 6 \implies x+3 \leq 36 \implies x \leq 33$.

$(\sqrt{x+15})^2 = (6 - \sqrt{x+3})^2$

$x+15 = 36 - 12\sqrt{x+3} + (x+3)$

$x+15 = 39 + x - 12\sqrt{x+3}$

$12\sqrt{x+3} = 39 - 15$

$12\sqrt{x+3} = 24$

$\sqrt{x+3} = 2$

Возведем обе части в квадрат еще раз:

$x+3 = 4$

$x = 1$

Проверим, что $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \geq -3$) и условию возведения в квадрат ($1 \leq 33$). Условия выполнены.

4. Мы нашли, что $f(1) = 6$. Так как функция $f(x)$ возрастающая, то неравенство $f(x) \leq 6$ будет выполняться при всех $x \leq 1$ из области определения функции.

5. Объединим полученное решение $x \leq 1$ с ОДЗ $x \geq -3$:

$\left\{ \begin{array}{l} x \leq 1, \\ x \geq -3 \end{array} \right.$

Итоговое решение: $-3 \leq x \leq 1$.

Ответ: $[-3, 1]$