Номер 125, страница 23 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(4x - 11)(x - 4)} = x - 4;$

2) $(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6.$

1) Решим уравнение $\sqrt{(4x - 11)(x - 4)} = x - 4$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = (g(x))^2, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$
Применительно к нашему уравнению система выглядит так:
$\begin{cases} (4x-11)(x-4) = (x-4)^2, \\ x-4 \ge 0. \end{cases}$
Из второго условия системы находим: $x \ge 4$.
Теперь решим первое уравнение системы:
$(4x-11)(x-4) = (x-4)^2$
$(4x-11)(x-4) - (x-4)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(x-4)$ за скобки:
$(x-4) \cdot ((4x-11) - (x-4)) = 0$
$(x-4)(4x-11-x+4) = 0$
$(x-4)(3x-7) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x-4=0 \implies x_1 = 4$
или
$3x-7=0 \implies 3x=7 \implies x_2 = \frac{7}{3}$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 4$ — верно.
Корень $x_2 = \frac{7}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{7}{3} \approx 2.67$, и неравенство $\frac{7}{3} \ge 4$ — неверно.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $4$.

2) Решим уравнение $(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 5x + 4 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.
Преобразуем исходное уравнение, заметив, что $2x-6 = 2(x-3)$:
$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2(x - 3)$
Перенесем все члены в левую часть:
$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2(x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-3)$:
$(x - 3)(\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Проверим, входит ли этот корень в ОДЗ. $3 \notin (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$, следовательно, $x=3$ не является решением.
2. $\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 - 5x + 4 = 4$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 5$.
Проверим их на принадлежность ОДЗ:
- Корень $x_3 = 0$ принадлежит ОДЗ, так как $0 \in (-\infty, 1]$.
- Корень $x_4 = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $5 \in [4, \infty)$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 5$.