Номер 129, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите уравнение $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6.$

Для решения данного уравнения выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы уравнение имело смысл, все выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными.
Во-первых, выражение под внутренним корнем: $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$.
Во-вторых, выражения под внешними корнями:
а) $x + 2\sqrt{x-1} \ge 0$. При $x \ge 1$ это неравенство всегда выполняется, так как $x > 0$ и $2\sqrt{x-1} \ge 0$.
б) $x - 2\sqrt{x-1} \ge 0$. Перенесем второе слагаемое вправо: $x \ge 2\sqrt{x-1}$. Поскольку при $x \ge 1$ обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1)$, что равносильно $x^2 - 4x + 4 \ge 0$, или $(x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа.
Таким образом, область допустимых значений для $x$ определяется условием $x \ge 1$.

2. Упрощение подкоренных выражений

Заметим, что подкоренные выражения под внешними корнями можно представить в виде полных квадратов, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для первого слагаемого:$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 1 + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
Тогда $\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1|$. Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $\sqrt{x-1} + 1 > 0$, следовательно, $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.
Для второго слагаемого:$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 1 - 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.
Тогда $\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} - 1|$.

3. Решение преобразованного уравнения

После упрощения исходное уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-1} + 1) + |\sqrt{x-1} - 1| = 6$.
Для решения этого уравнения раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0$.
Это неравенство выполняется при $\sqrt{x-1} \ge 1$, то есть $x-1 \ge 1$, откуда $x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$. Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = 6$
$2\sqrt{x-1} = 6$
$\sqrt{x-1} = 3$
Возведя обе части в квадрат, получаем $x-1 = 9$, откуда $x = 10$.
Полученное значение $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, является корнем уравнения.
Случай 2: $\sqrt{x-1} - 1 < 0$.
Это неравенство выполняется при $\sqrt{x-1} < 1$, то есть $0 \le x-1 < 1$, откуда $1 \le x < 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$. Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = 6$
$2 = 6$
Получено неверное равенство, что означает, что в интервале $[1, 2)$ уравнение корней не имеет.

4. Проверка и ответ

Единственным найденным решением является $x=10$. Выполним проверку, подставив это значение в исходное уравнение:
$\sqrt{10 + 2\sqrt{10-1}} + \sqrt{10 - 2\sqrt{10-1}} = \sqrt{10 + 2\sqrt{9}} + \sqrt{10 - 2\sqrt{9}} = \sqrt{10+6} + \sqrt{10-6} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4+2=6$.
$6 = 6$. Равенство верное.
Ответ: $10$