Номер 103, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6};$

2) $y = \sqrt[4]{x^4} + 2x;$

3) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3};$

4) $y = \frac{(x-4)^2}{\sqrt[4]{(x-4)^4}} + 2.$

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$

Для упрощения функции воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $2n=6$, поэтому функция принимает вид:

$y = |x+2|$.

График этой функции — это стандартный график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина графика будет в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x+2=0 \implies x=-2$. Координаты вершины: $(-2, 0)$.

Функцию можно записать в виде кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ -(x+2), & \text{если } x+2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$

Таким образом, график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(-2, 0)$:

• луч $y = x+2$ для всех $x \ge -2$;
• луч $y = -x-2$ для всех $x < -2$.

Ответ: График функции представляет собой два луча, $y=x+2$ при $x \ge -2$ и $y=-x-2$ при $x < -2$, с общей вершиной в точке $(-2, 0)$.

2) $y = \sqrt[4]{x^4} + 2x$

Упростим первое слагаемое, используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $2n=4$:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Тогда исходная функция принимает вид:

$y = |x| + 2x$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция становится $y = x + 2x = 3x$.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция становится $y = -x + 2x = x$.

Таким образом, мы имеем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, исходящих из начала координат $(0, 0)$:

• луч $y=3x$ в правой полуплоскости ($x \ge 0$);
• луч $y=x$ в левой полуплоскости ($x < 0$).

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$: луча $y=3x$ для $x \ge 0$ и луча $y=x$ для $x < 0$.

3) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3}$

Сначала найдем область определения функции. Так как корень восьмой степени (четной), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$(x-3)^5 \ge 0 \implies x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
$(x-3)^3 \ge 0 \implies x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [3, +\infty)$.

На этой области определения можно объединить корни:

$y = \sqrt[8]{(x-3)^5 \cdot (x-3)^3} = \sqrt[8]{(x-3)^{5+3}} = \sqrt[8]{(x-3)^8}$.

По свойству $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ получаем:

$y = |x-3|$.

Так как область определения $x \ge 3$, то выражение $x-3$ всегда неотрицательно. Поэтому модуль можно раскрыть: $|x-3| = x-3$.

Итоговая функция: $y = x-3$ при $x \ge 3$.

Графиком является луч прямой $y=x-3$, начинающийся в точке $(3, 0)$ и уходящий вправо-вверх.

Ответ: График функции — это луч прямой $y=x-3$ с началом в точке $(3, 0)$.

4) $y = \frac{(x-4)^2}{\sqrt[4]{(x-4)^4}} + 2$

Найдем область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Упростим знаменатель:

$\sqrt[4]{(x-4)^4} = |x-4|$.

Знаменатель равен нулю, если $|x-4|=0$, то есть $x=4$. Значит, $x=4$ нужно исключить из области определения: $D(y) = (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Теперь упростим саму функцию. Заметим, что $(x-4)^2 = |x-4|^2$.

$y = \frac{|x-4|^2}{|x-4|} + 2 = |x-4| + 2$ (при $x \ne 4$).

График функции $y = |x-4| + 2$ представляет собой график $y=|x|$, сдвинутый на 4 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Его вершина находится в точке $(4, 2)$.

Однако, так как $x \ne 4$, точка $(4, 2)$ не принадлежит графику нашей функции. Эта точка является выколотой ("дыркой").

Запишем функцию кусочно:

• При $x > 4$, $|x-4| = x-4$, и функция $y = (x-4) + 2 = x-2$.
• При $x < 4$, $|x-4| = -(x-4)$, и функция $y = -(x-4) + 2 = -x+6$.

График состоит из двух открытых лучей, "встречающихся" в выколотой точке $(4, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: $y = -x+6$ при $x < 4$ и $y = x-2$ при $x > 4$. Точка $(4, 2)$ является выколотой.